Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsdsval Structured version   Unicode version

Theorem xpsdsval 18403
 Description: Value of the metric in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t s
xpsds.x
xpsds.y
xpsds.1
xpsds.2
xpsds.p
xpsds.m
xpsds.n
xpsds.3
xpsds.4
xpsds.a
xpsds.b
xpsds.c
xpsds.d
Assertion
Ref Expression
xpsdsval

Proof of Theorem xpsdsval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . . . 5 s
2 xpsds.x . . . . 5
3 xpsds.y . . . . 5
4 xpsds.1 . . . . 5
5 xpsds.2 . . . . 5
6 eqid 2435 . . . . 5
7 eqid 2435 . . . . 5 Scalar Scalar
8 eqid 2435 . . . . 5 Scalars Scalars
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 13789 . . . 4 s Scalars
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 13790 . . . 4 Scalars
116xpsff1o2 13788 . . . . 5
12 f1ocnv 5679 . . . . 5
1311, 12mp1i 12 . . . 4
14 ovex 6098 . . . . 5 Scalars
1514a1i 11 . . . 4 Scalars
16 eqid 2435 . . . 4 Scalars Scalars
17 xpsds.p . . . 4
18 xpsds.m . . . . . 6
19 xpsds.n . . . . . 6
20 xpsds.3 . . . . . 6
21 xpsds.4 . . . . . 6
221, 2, 3, 4, 5, 17, 18, 19, 20, 21xpsxmetlem 18401 . . . . 5 Scalars
23 ssid 3359 . . . . 5
24 xmetres2 18383 . . . . 5 Scalars Scalars
2522, 23, 24sylancl 644 . . . 4 Scalars
26 df-ov 6076 . . . . . 6
27 xpsds.a . . . . . . 7
28 xpsds.b . . . . . . 7
296xpsfval 13784 . . . . . . 7
3027, 28, 29syl2anc 643 . . . . . 6
3126, 30syl5eqr 2481 . . . . 5
32 opelxpi 4902 . . . . . . 7
3327, 28, 32syl2anc 643 . . . . . 6
34 f1of 5666 . . . . . . . 8
3511, 34ax-mp 8 . . . . . . 7
3635ffvelrni 5861 . . . . . 6
3733, 36syl 16 . . . . 5
3831, 37eqeltrrd 2510 . . . 4
39 df-ov 6076 . . . . . 6
40 xpsds.c . . . . . . 7
41 xpsds.d . . . . . . 7
426xpsfval 13784 . . . . . . 7
4340, 41, 42syl2anc 643 . . . . . 6
4439, 43syl5eqr 2481 . . . . 5
45 opelxpi 4902 . . . . . . 7
4640, 41, 45syl2anc 643 . . . . . 6
4735ffvelrni 5861 . . . . . 6
4846, 47syl 16 . . . . 5
4944, 48eqeltrrd 2510 . . . 4
509, 10, 13, 15, 16, 17, 25, 38, 49imasdsf1o 18396 . . 3 Scalars
5138, 49ovresd 6206 . . 3 Scalars Scalars
5250, 51eqtrd 2467 . 2 Scalars
53 f1ocnvfv 6008 . . . . 5
5411, 33, 53sylancr 645 . . . 4
5531, 54mpd 15 . . 3
56 f1ocnvfv 6008 . . . . 5
5711, 46, 56sylancr 645 . . . 4
5844, 57mpd 15 . . 3
5955, 58oveq12d 6091 . 2
60 eqid 2435 . . . 4 Scalars Scalars
61 fvex 5734 . . . . 5 Scalar
6261a1i 11 . . . 4 Scalar
63 2on 6724 . . . . 5
6463a1i 11 . . . 4
65 xpscfn 13776 . . . . 5
664, 5, 65syl2anc 643 . . . 4
6738, 10eleqtrd 2511 . . . 4 Scalars
6849, 10eleqtrd 2511 . . . 4 Scalars
69 eqid 2435 . . . 4 Scalars Scalars
708, 60, 62, 64, 66, 67, 68, 69prdsdsval 13692 . . 3 Scalars
71 df2o3 6729 . . . . . . . . . . 11
7271rexeqi 2901 . . . . . . . . . 10
73 0ex 4331 . . . . . . . . . . 11
74 1on 6723 . . . . . . . . . . . 12
7574elexi 2957 . . . . . . . . . . 11
76 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14
7776fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
78 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
79 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 78, 79oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . 12
8180eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11
82 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14
8382fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
84 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
85 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
8683, 84, 85oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . 12
8786eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11
8873, 75, 81, 87rexpr 3854 . . . . . . . . . 10
8972, 88bitri 241 . . . . . . . . 9
90 xpsc0 13777 . . . . . . . . . . . . . . 15
914, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
9291fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
93 xpsc0 13777 . . . . . . . . . . . . . 14
9427, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
95 xpsc0 13777 . . . . . . . . . . . . . 14
9640, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9792, 94, 96oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . 12
9818oveqi 6086 . . . . . . . . . . . . 13
9927, 40ovresd 6206 . . . . . . . . . . . . 13
10098, 99syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12
10197, 100eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . 11
102101eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10
103 xpsc1 13778 . . . . . . . . . . . . . . 15
1045, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
105104fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
106 xpsc1 13778 . . . . . . . . . . . . . 14
10728, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
108 xpsc1 13778 . . . . . . . . . . . . . 14
10941, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
110105, 107, 109oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . 12
11119oveqi 6086 . . . . . . . . . . . . 13
11228, 41ovresd 6206 . . . . . . . . . . . . 13
113111, 112syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12
114110, 113eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . 11
115114eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10
116102, 115orbi12d 691 . . . . . . . . 9
11789, 116syl5bb 249 . . . . . . . 8
118 vex 2951 . . . . . . . . 9
119 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
120119elrnmpt 5109 . . . . . . . . 9
121118, 120ax-mp 8 . . . . . . . 8
122118elpr 3824 . . . . . . . 8
123117, 121, 1223bitr4g 280 . . . . . . 7
124123eqrdv 2433 . . . . . 6
125124uneq1d 3492 . . . . 5
126 uncom 3483 . . . . 5
127125, 126syl6eq 2483 . . . 4
128127supeq1d 7443 . . 3
129 0xr 9123 . . . . . 6
130129a1i 11 . . . . 5
131130snssd 3935 . . . 4
132 xmetcl 18353 . . . . . 6
13320, 27, 40, 132syl3anc 1184 . . . . 5
134 xmetcl 18353 . . . . . 6
13521, 28, 41, 134syl3anc 1184 . . . . 5
136 prssi 3946 . . . . 5
137133, 135, 136syl2anc 643 . . . 4
138 xrltso 10726 . . . . . 6
139 supsn 7466 . . . . . 6
140138, 129, 139mp2an 654 . . . . 5
141 supxrcl 10885 . . . . . . 7
142137, 141syl 16 . . . . . 6
143 xmetge0 18366 . . . . . . 7
14420, 27, 40, 143syl3anc 1184 . . . . . 6
145 ovex 6098 . . . . . . . 8
146145prid1 3904 . . . . . . 7
147 supxrub 10895 . . . . . . 7
148137, 146, 147sylancl 644 . . . . . 6
149130, 133, 142, 144, 148xrletrd 10744 . . . . 5
150140, 149syl5eqbr 4237 . . . 4
151 supxrun 10886 . . . 4
152131, 137, 150, 151syl3anc 1184 . . 3
15370, 128, 1523eqtrd 2471 . 2 Scalars
15452, 59, 1533eqtr3d 2475 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  cvv 2948   cun 3310   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cpr 3807  cop 3809   class class class wbr 4204   cmpt 4258   wor 4494  con0 4573   cxp 4868  ccnv 4869   crn 4871   cres 4872   wfn 5441  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1o 6709  c2o 6710  csup 7437   ccda 8039  cc0 8982  cxr 9111   clt 9112   cle 9113  cbs 13461  Scalarcsca 13524  cds 13530  scprds 13661   s cxps 13724  cxmt 16678 This theorem is referenced by:  tmsxpsval  18560 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-xmet 16687
 Copyright terms: Public domain W3C validator