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Theorem xpwdomg 7545
Description: Weak dominance of a cross product. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpwdomg  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )

Proof of Theorem xpwdomg
Dummy variables  a 
b  c  f  g  x  y  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdom3i 7543 . . 3  |-  ( A  ~<_*  B  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )
3 brwdom3i 7543 . . 3  |-  ( C  ~<_*  D  ->  E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d
) )
43adantl 453 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )
5 relwdom 7526 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_*
65brrelexi 4910 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  A  e.  _V )
75brrelexi 4910 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  C  e.  _V )
8 xpexg 4981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
96, 7, 8syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  e.  _V )
109adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( A  X.  C )  e.  _V )
115brrelex2i 4911 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  B  e.  _V )
125brrelex2i 4911 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  D  e.  _V )
13 xpexg 4981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( B  X.  D
)  e.  _V )
1411, 12, 13syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( B  X.  D )  e.  _V )
1514adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( B  X.  D )  e.  _V )
16 pm3.2 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1716ralimdv 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1817com12 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1918ralimdv 2777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2019impcom 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )
21 pm3.2 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( f `  b )  ->  (
c  =  ( g `
 d )  -> 
( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2221reximdv 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( f `  b )  ->  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2322com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  (
a  =  ( f `
 b )  ->  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2423reximdv 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2524impcom 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2625ralimi 2773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2726ralimi 2773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
29 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  <.
a ,  c >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. ) )
30 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  a  e. 
_V
31 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  c  e. 
_V
3230, 31opth 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
a ,  c >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. 
<->  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
3329, 32syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  ( a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
34332rexbidv 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  (
a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
3534ralxp 5008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  C ) E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  (
a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
3628, 35sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. x  e.  ( A  X.  C ) E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. )
3736r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C
) )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.
)
38 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  b  e. 
_V
39 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  d  e. 
_V
4038, 39op1std 6349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( 1st `  y
)  =  b )
4140fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `
 b ) )
4238, 39op2ndd 6350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( 2nd `  y
)  =  d )
4342fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( g `  ( 2nd `  y ) )  =  ( g `
 d ) )
4441, 43opeq12d 3984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `
 ( 2nd `  y
) ) >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d ) >. )
4544eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) ) >.  <->  x  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d ) >. )
)
4645rexxp 5009 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( B  X.  D ) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `
 ( 2nd `  y
) ) >.  <->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.
)
4737, 46sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C
) )  ->  E. y  e.  ( B  X.  D
) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) )
>. )
4847adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C ) )  ->  E. y  e.  ( B  X.  D
) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) )
>. )
4910, 15, 48wdom2d 7540 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )
5049expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )  ->  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D ) ) )
5150exlimdv 1646 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) )
5251ex 424 . . 3  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) ) )
5352exlimdv 1646 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) ) )
542, 4, 53mp2d 43 1  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   <.cop 3809   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ` cfv 5446   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340    ~<_* cwdom 7517
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-wdom 7519
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