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Theorem xpwdomg 7301
Description: Weak dominance of a cross product. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpwdomg  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )

Proof of Theorem xpwdomg
Dummy variables  a 
b  c  f  g  x  y  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdom3i 7299 . . 3  |-  ( A  ~<_*  B  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b ) )
3 brwdom3i 7299 . . 3  |-  ( C  ~<_*  D  ->  E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d
) )
43adantl 452 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )
5 relwdom 7282 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_*
65brrelexi 4731 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  A  e.  _V )
75brrelexi 4731 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  C  e.  _V )
8 xpexg 4802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
96, 7, 8syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  e.  _V )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( A  X.  C )  e.  _V )
115brrelex2i 4732 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_*  B  ->  B  e.  _V )
125brrelex2i 4732 . . . . . . . . 9  |-  ( C  ~<_*  D  ->  D  e.  _V )
13 xpexg 4802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( B  X.  D
)  e.  _V )
1411, 12, 13syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( B  X.  D )  e.  _V )
1514adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( B  X.  D )  e.  _V )
16 pm3.2 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1716ralimdv 2624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1817com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
1918ralimdv 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2019impcom 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )
21 pm3.2 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( f `  b )  ->  (
c  =  ( g `
 d )  -> 
( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2221reximdv 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( f `  b )  ->  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2322com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  (
a  =  ( f `
 b )  ->  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2423reximdv 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
2524impcom 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2625ralimi 2620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2726ralimi 2620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  A  A. c  e.  C  ( E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
2820, 27syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
29 eqeq1 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  <.
a ,  c >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. ) )
30 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  a  e. 
_V
31 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  c  e. 
_V
3230, 31opth 4247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
a ,  c >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. 
<->  ( a  =  ( f `  b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
3329, 32syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  ( a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
34332rexbidv 2588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. a ,  c
>.  ->  ( E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  (
a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) ) )
3534ralxp 4829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  C ) E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.  <->  A. a  e.  A  A. c  e.  C  E. b  e.  B  E. d  e.  D  (
a  =  ( f `
 b )  /\  c  =  ( g `  d ) ) )
3628, 35sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  ->  A. x  e.  ( A  X.  C ) E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d )
>. )
3736r19.21bi 2643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C
) )  ->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.
)
38 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  b  e. 
_V
39 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  d  e. 
_V
4038, 39op1std 6132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( 1st `  y
)  =  b )
4140fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `
 b ) )
4238, 39op2ndd 6133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( 2nd `  y
)  =  d )
4342fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( g `  ( 2nd `  y ) )  =  ( g `
 d ) )
4441, 43opeq12d 3806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `
 ( 2nd `  y
) ) >.  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d ) >. )
4544eqeq2d 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. b ,  d
>.  ->  ( x  = 
<. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) ) >.  <->  x  =  <. ( f `  b ) ,  ( g `  d ) >. )
)
4645rexxp 4830 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( B  X.  D ) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `
 ( 2nd `  y
) ) >.  <->  E. b  e.  B  E. d  e.  D  x  =  <. ( f `  b
) ,  ( g `
 d ) >.
)
4737, 46sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C
) )  ->  E. y  e.  ( B  X.  D
) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) )
>. )
4847adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D )  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  /\  x  e.  ( A  X.  C ) )  ->  E. y  e.  ( B  X.  D
) x  =  <. ( f `  ( 1st `  y ) ) ,  ( g `  ( 2nd `  y ) )
>. )
4910, 15, 48wdom2d 7296 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  /\  A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d ) ) )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )
5049expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )  ->  ( A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D ) ) )
5150exlimdv 1666 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  /\  A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b
) )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) )
5251ex 423 . . 3  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) ) )
5352exlimdv 1666 . 2  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( E. f A. a  e.  A  E. b  e.  B  a  =  ( f `  b )  ->  ( E. g A. c  e.  C  E. d  e.  D  c  =  ( g `  d )  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) ) ) )
542, 4, 53mp2d 41 1  |-  ( ( A  ~<_*  B  /\  C  ~<_*  D
)  ->  ( A  X.  C )  ~<_*  ( B  X.  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790   <.cop 3645   class class class wbr 4025    X. cxp 4689   ` cfv 5257   1stc1st 6122   2ndc2nd 6123    ~<_* cwdom 7273
This theorem is referenced by:  hsmexlem3  8056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-wdom 7275
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