MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xralrple Structured version   Unicode version

Theorem xralrple 10793
Description: Show that  A is less than  B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xralrple  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem xralrple
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpge0 10626 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
21adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  x
)
3 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
4 rpre 10620 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
54adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
63, 5addge01d 9616 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  x 
<->  B  <_  ( B  +  x ) ) )
72, 6mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  <_  ( B  +  x )
)
8 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR* )
93rexrd 9136 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
103, 5readdcld 9117 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( B  +  x )  e.  RR )
1110rexrd 9136 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( B  +  x )  e.  RR* )
12 xrletr 10750 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( B  +  x )  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  x ) )  ->  A  <_  ( B  +  x )
) )
138, 9, 11, 12syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  x
) )  ->  A  <_  ( B  +  x
) ) )
147, 13mpan2d 657 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  x )
) )
1514ralrimdva 2798 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
16 rexr 9132 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
1716adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
18 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
19 qbtwnxr 10788 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  B  < 
A )  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) )
20193expia 1156 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) ) )
2117, 18, 20syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  E. y  e.  QQ  ( B  < 
y  /\  y  <  A ) ) )
22 simprrl 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  <  y
)
23 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  e.  RR )
24 qre 10581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2524ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  RR )
26 difrp 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( B  <  y  <->  ( y  -  B )  e.  RR+ ) )
2723, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( B  < 
y  <->  ( y  -  B )  e.  RR+ ) )
2822, 27mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( y  -  B )  e.  RR+ )
29 simprrr 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  <  A
)
3025rexrd 9136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  RR* )
31 simpll 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  A  e.  RR* )
32 xrltnle 9146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
y  <  A  <->  -.  A  <_  y ) )
3330, 31, 32syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( y  < 
A  <->  -.  A  <_  y ) )
3429, 33mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A  <_  y )
3523recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
3625recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  y  e.  CC )
3735, 36pncan3d 9416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( B  +  ( y  -  B
) )  =  y )
3837breq2d 4226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  ( A  <_ 
( B  +  ( y  -  B ) )  <->  A  <_  y ) )
3934, 38mtbird 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) )
40 oveq2 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( B  +  x )  =  ( B  +  ( y  -  B
) ) )
4140breq2d 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( A  <_  ( B  +  x )  <->  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) ) )
4241notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  -  B )  ->  ( -.  A  <_  ( B  +  x )  <->  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B ) ) ) )
4342rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  -  B
)  e.  RR+  /\  -.  A  <_  ( B  +  ( y  -  B
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x
) )
4428, 39, 43syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x ) )
45 rexnal 2718 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  A  <_  ( B  +  x
)  <->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
)
4644, 45sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  QQ  /\  ( B  <  y  /\  y  <  A ) ) )  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
)
4746rexlimdvaa 2833 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  QQ  ( B  <  y  /\  y  <  A )  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x ) ) )
4821, 47syld 43 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  -.  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
) ) )
4948con2d 110 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
)  ->  -.  B  <  A ) )
50 xrlenlt 9145 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5116, 50sylan2 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5249, 51sylibrd 227 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  x
)  ->  A  <_  B ) )
5315, 52impbid 185 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( B  +  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   QQcq 10576   RR+crp 10614
This theorem is referenced by:  alrple  10794  ovollb2  19387  ovolun  19397  ovoliun  19403  ovolscalem2  19412  nulmbl2  19433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615
  Copyright terms: Public domain W3C validator