Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifiso Structured version   Unicode version

Theorem xrge0iifiso 24322
 Description: The defined bijection from the closed unit interval and the extended non-negative reals is an order isomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1
Assertion
Ref Expression
xrge0iifiso
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem xrge0iifiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 10994 . . 3
2 xrltso 10735 . . 3
3 soss 4522 . . 3
41, 2, 3mp2 9 . 2
5 iccssxr 10994 . . 3
6 cnvso 5412 . . . . 5
72, 6mpbi 201 . . . 4
8 sopo 4521 . . . 4
97, 8ax-mp 8 . . 3
10 poss 4506 . . 3
115, 9, 10mp2 9 . 2
12 xrge0iifhmeo.1 . . . . 5
1312xrge0iifcnv 24320 . . . 4
1413simpli 446 . . 3
15 f1ofo 5682 . . 3
1614, 15ax-mp 8 . 2
17 0xr 9132 . . . . . . . 8
18 1re 9091 . . . . . . . . 9
1918rexri 9138 . . . . . . . 8
20 0le1 9552 . . . . . . . 8
21 snunioc 24138 . . . . . . . 8
2217, 19, 20, 21mp3an 1280 . . . . . . 7
2322eleq2i 2501 . . . . . 6
24 elun 3489 . . . . . 6
2523, 24bitr3i 244 . . . . 5
26 elsn 3830 . . . . . . 7
27 elunitrn 24296 . . . . . . . . . . . 12
2827adantr 453 . . . . . . . . . . 11
29 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
30 0re 9092 . . . . . . . . . . . . . 14
3130, 18elicc2i 10977 . . . . . . . . . . . . 13
3231simp3bi 975 . . . . . . . . . . . 12
3332adantr 453 . . . . . . . . . . 11
34 elioc2 10974 . . . . . . . . . . . 12
3517, 18, 34mp2an 655 . . . . . . . . . . 11
3628, 29, 33, 35syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . 10
37 pnfxr 10714 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 0le0 10082 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 ltpnf 10722 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4018, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 iocssioo 24133 . . . . . . . . . . . . . . 15
4217, 37, 38, 40, 41mp4an 656 . . . . . . . . . . . . . 14
43 ioorp 10989 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43sseqtri 3381 . . . . . . . . . . . . 13
4544sseli 3345 . . . . . . . . . . . 12
46 relogcl 20474 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746renegcld 9465 . . . . . . . . . . . . . 14
48 ltpnf 10722 . . . . . . . . . . . . . 14
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
50 brcnvg 5054 . . . . . . . . . . . . . 14
5137, 47, 50sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13
5249, 51mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12
5345, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11
5412xrge0iifcv 24321 . . . . . . . . . . 11
5553, 54breqtrrd 4239 . . . . . . . . . 10
5636, 55syl 16 . . . . . . . . 9
5756ex 425 . . . . . . . 8
58 breq1 4216 . . . . . . . . 9
59 fveq2 5729 . . . . . . . . . . 11
60 0elunit 11016 . . . . . . . . . . . 12
61 iftrue 3746 . . . . . . . . . . . . 13
6237elexi 2966 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 12, 62fvmpt 5807 . . . . . . . . . . . 12
6460, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
6559, 64syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10
6665breq1d 4223 . . . . . . . . 9
6758, 66imbi12d 313 . . . . . . . 8
6857, 67syl5ibr 214 . . . . . . 7
6926, 68sylbi 189 . . . . . 6
70 simpll 732 . . . . . . . . 9
7127ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10
7230a1i 11 . . . . . . . . . . 11
7344sseli 3345 . . . . . . . . . . . . 13
7473rpred 10649 . . . . . . . . . . . 12
7574ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
76 elioc2 10974 . . . . . . . . . . . . . 14
7717, 18, 76mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13
7877simp2bi 974 . . . . . . . . . . . 12
7978ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
80 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
8172, 75, 71, 79, 80lttrd 9232 . . . . . . . . . 10
8232ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10
8371, 81, 82, 35syl3anbrc 1139 . . . . . . . . 9
8470, 83jca 520 . . . . . . . 8
8573adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
8685relogcld 20519 . . . . . . . . . . . 12
8745adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
8887relogcld 20519 . . . . . . . . . . . 12
8986, 88ltnegd 9605 . . . . . . . . . . 11
90 logltb 20495 . . . . . . . . . . . 12
9173, 45, 90syl2an 465 . . . . . . . . . . 11
92 negex 9305 . . . . . . . . . . . . 13
93 negex 9305 . . . . . . . . . . . . 13
9492, 93brcnv 5056 . . . . . . . . . . . 12
9594a1i 11 . . . . . . . . . . 11
9689, 91, 953bitr4d 278 . . . . . . . . . 10
9796biimpd 200 . . . . . . . . 9
9812xrge0iifcv 24321 . . . . . . . . . 10
9998, 54breqan12d 4228 . . . . . . . . 9
10097, 99sylibrd 227 . . . . . . . 8
10184, 80, 100sylc 59 . . . . . . 7
102101exp31 589 . . . . . 6
10369, 102jaoi 370 . . . . 5
10425, 103sylbi 189 . . . 4
105104imp 420 . . 3
106105rgen2a 2773 . 2
107 soisoi 6049 . 2
1084, 11, 16, 106, 107mp4an 656 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706   cun 3319   wss 3321  cif 3740  csn 3815   class class class wbr 4213   cmpt 4267   wpo 4502   wor 4503  ccnv 4878  wfo 5453  wf1o 5454  cfv 5455   wiso 5456  (class class class)co 6082  cr 8990  cc0 8991  c1 8992   cpnf 9118  cxr 9120   clt 9121   cle 9122  cneg 9293  crp 10613  cioo 10917  cioc 10918  cicc 10920  ce 12665  clog 20453 This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  24323 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755  df-log 20455
 Copyright terms: Public domain W3C validator