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Theorem xrhmeo 18446
Description: The bijection from  [ -u
1 ,  1 ] to the extended reals is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrhmeo.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
xrhmeo.g  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  - e ( F `  -u y
) ) )
xrhmeo.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
xrhmeo.k  |-  K  =  (ordTop `  <_  )
Assertion
Ref Expression
xrhmeo  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) )  Homeo  (ordTop `  <_  ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, F    x, J, y
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem xrhmeo
Dummy variables  w  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 10734 . . . 4  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR*
2 xrltso 10477 . . . 4  |-  <  Or  RR*
3 soss 4334 . . . 4  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR*  ->  (  <  Or  RR*  ->  <  Or  ( -u 1 [,] 1
) ) )
41, 2, 3mp2 17 . . 3  |-  <  Or  ( -u 1 [,] 1
)
5 sopo 4333 . . . 4  |-  (  < 
Or  RR*  ->  <  Po  RR* )
62, 5ax-mp 8 . . 3  |-  <  Po  RR*
7 xrhmeo.g . . . . 5  |-  G  =  ( y  e.  (
-u 1 [,] 1
)  |->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  - e ( F `  -u y
) ) )
8 iccssxr 10734 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
9 1re 8839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
109renegcli 9110 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
1110, 9elicc2i 10718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  -u 1  <_  y  /\  y  <_ 
1 ) )
1211simp1bi 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  e.  RR )
1312adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
14 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  0  <_  y )
1511simp3bi 972 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  y  <_  1 )
1615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  <_  1 )
17 0re 8840 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
1817, 9elicc2i 10718 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <_  1 ) )
1913, 14, 16, 18syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  y  e.  ( 0 [,] 1
) )
20 xrhmeo.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  =  1 ,  +oo , 
( x  /  (
1  -  x ) ) ) )
2120iccpnfcnv 18444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  /\  `' F  =  ( v  e.  ( 0 [,]  +oo )  |->  if ( v  = 
+oo ,  1 , 
( v  /  (
1  +  v ) ) ) ) )
2221simpli 444 . . . . . . . . . 10  |-  F :
( 0 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )
23 f1of 5474 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( 0 [,]  +oo ) )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  F :
( 0 [,] 1
) --> ( 0 [,] 
+oo )
2524ffvelrni 5666 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2619, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
278, 26sseldi 3180 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  0  <_  y
)  ->  ( F `  y )  e.  RR* )
2812adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  e.  RR )
2928renegcld 9212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  RR )
30 letric 8923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3117, 12, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  \/  y  <_  0 ) )
3231orcanai 879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  y  <_  0 )
3328le0neg1d 9346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  (
y  <_  0  <->  0  <_  -u y ) )
3432, 33mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  0  <_ 
-u y )
3511simp2bi 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  -u 1  <_  y )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u 1  <_  y )
37 lenegcon1 9280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_ 
y  <->  -u y  <_  1
) )
389, 28, 37sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( -u 1  <_  y  <->  -u y  <_ 
1 ) )
3936, 38mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  <_  1 )
4017, 9elicc2i 10718 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( -u y  e.  RR  /\  0  <_  -u y  /\  -u y  <_  1 ) )
4129, 34, 39, 40syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )
4224ffvelrni 5666 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u y
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
448, 43sseldi 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  ( F `  -u y )  e.  RR* )
4544xnegcld 10622 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  -.  0  <_ 
y )  ->  - e
( F `  -u y
)  e.  RR* )
4627, 45ifclda 3594 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  - e ( F `  -u y ) )  e. 
RR* )
477, 46fmpti 5685 . . . 4  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) --> RR*
48 frn 5397 . . . . . 6  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  ->  ran 
G  C_  RR* )
4947, 48ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  G  C_ 
RR*
50 ssabral 3246 . . . . . . 7  |-  ( RR*  C_ 
{ z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
- e ( F `
 -u y ) ) }  <->  A. z  e.  RR*  E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  - e
( F `  -u y
) ) )
51 0le1 9299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
52 le0neg2 9285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
539, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
5451, 53mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  <_  0
55 1le1 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
56 iccss 10720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( -u 1  <_  0  /\  1  <_  1 ) )  ->  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1 ) )
5710, 9, 54, 55, 56mp4an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  ( -u 1 [,] 1
)
58 elxrge0 10749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( z  e.  RR*  /\  0  <_ 
z ) )
59 f1ocnv 5487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  ->  `' F :
( 0 [,]  +oo )
-1-1-onto-> ( 0 [,] 1
) )
60 f1of 5474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F : ( 0 [,]  +oo ) -1-1-onto-> ( 0 [,] 1
)  ->  `' F : ( 0 [,] 
+oo ) --> ( 0 [,] 1 ) )
6122, 59, 60mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' F : ( 0 [,] 
+oo ) --> ( 0 [,] 1 )
6261ffvelrni 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6358, 62sylbir 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6457, 63sseldi 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
6517, 9elicc2i 10718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  RR  /\  0  <_  ( `' F `  z )  /\  ( `' F `  z )  <_  1 ) )
6665simp2bi 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6763, 66syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  0  <_  ( `' F `  z ) )
6858biimpri 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
69 f1ocnvfv2 5795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
7022, 68, 69sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
7170eqcomd 2290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
72 breq2 4029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  ( `' F `  z ) ) )
73 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
7473eqeq2d 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
z  =  ( F `
 y )  <->  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )
7572, 74anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  <->  ( 0  <_ 
( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) ) )
7675rspcev 2886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F `  z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  ( 0  <_  ( `' F `  z )  /\  z  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
) )
7764, 67, 71, 76syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) ) )
78 iftrue 3573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  - e ( F `  -u y ) )  =  ( F `  y
) )
7978eqeq2d 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  <_  y  ->  (
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  - e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  ( F `  y ) ) )
8079biimpar 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y ) )  -> 
z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  - e
( F `  -u y
) ) )
8180reximi 2652 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( 0  <_  y  /\  z  =  ( F `  y )
)  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
- e ( F `
 -u y ) ) )
8277, 81syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
- e ( F `
 -u y ) ) )
83 xnegcl 10542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  - e
z  e.  RR* )
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  - e z  e.  RR* )
85 0xr 8880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
86 xrletri 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8785, 86mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  \/  z  <_  0 ) )
8887ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  z  <_  0 ) )
89 xle0neg1 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( z  <_  0  <->  0  <_  - e z ) )
9088, 89sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  ->  0  <_  - e z ) )
9190imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
0  <_  - e z )
92 elxrge0 10749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  - e z  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( 
- e z  e. 
RR*  /\  0  <_  - e z ) )
9384, 91, 92sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  - e z  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
9461ffvelrni 5666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  - e z  e.  ( 0 [,]  +oo )  ->  ( `' F `  - e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9593, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  - e z )  e.  ( 0 [,] 1
) )
9657, 95sseldi 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  - e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
97 iccssre 10733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR )
9810, 9, 97mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 [,] 1 ) 
C_  RR
9998, 96sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  - e z )  e.  RR )
100 iccneg 10759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( `' F `  - e
z )  e.  RR )  ->  ( ( `' F `  - e
z )  e.  (
-u 1 [,] 1
)  <->  -u ( `' F `  - e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) ) )
10110, 9, 100mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  - e
z )  e.  RR  ->  ( ( `' F `  - e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  - e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10299, 101syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  - e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  -u ( `' F `  - e
z )  e.  (
-u 1 [,] -u -u 1
) ) )
10396, 102mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  - e z )  e.  ( -u 1 [,] -u -u 1 ) )
104 ax-1cn 8797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
105104negnegi 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
106105oveq2i 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 [,] -u -u 1
)  =  ( -u
1 [,] 1 )
107103, 106syl6eleq 2375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u ( `' F `  - e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
108 xle0neg2 10551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( 0  <_  z  <->  - e z  <_  0 ) )
109108notbid 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( -.  0  <_  z  <->  -.  - e
z  <_  0 ) )
110109biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  - e z  <_ 
0 )
111 f1ocnvfv2 5795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( 0 [,]  +oo )  /\  - e
z  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( F `  ( `' F `  - e
z ) )  = 
- e z )
11222, 93, 111sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  ( `' F `  - e
z ) )  = 
- e z )
113 0elunit 10756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
114 ax-1ne0 8808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  =/=  0
115 neeq2 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  =/=  x  <->  1  =/=  0 ) )
116114, 115mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  1  =/=  x )
117116necomd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  x  =/=  1 )
118 ifnefalse 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  1  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
119117, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  ( x  / 
( 1  -  x
) ) )
120 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
121 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  0 ) )
122104subid1i 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  -  0 )  =  1
123121, 122syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  1 )
124120, 123oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  ( 0  / 
1 ) )
125104, 114div0i 9496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  /  1 )  =  0
126124, 125syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  ( 1  -  x ) )  =  0 )
127119, 126eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  =  1 ,  +oo ,  ( x  /  ( 1  -  x ) ) )  =  0 )
128 c0ex 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
129127, 20, 128fvmpt 5604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  0 )  =  0 )
130113, 129ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 0 )  =  0
131130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  0
)  =  0 )
132112, 131breq12d 4038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( F `  ( `' F `  - e
z ) )  <_ 
( F `  0
)  <->  - e z  <_ 
0 ) )
133110, 132mtbird 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( F `  ( `' F `  - e
z ) )  <_ 
( F `  0
) )
134 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] 
+oo ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
)
13520, 134iccpnfhmeo 18445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  (
( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  F  e.  ( II  Homeo 
( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,]  +oo )
) ) )
136135simpli 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1 ) ,  ( 0 [,]  +oo ) )
137 iccssxr 10734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR*
138137, 8pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  RR*  /\  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR* )
139 leisorel 11400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  ( ( 0 [,] 1 )  C_  RR*  /\  (
0 [,]  +oo )  C_  RR* )  /\  ( ( `' F `  - e
z )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( `' F `  - e z )  <_ 
0  <->  ( F `  ( `' F `  - e
z ) )  <_ 
( F `  0
) ) )
140136, 138, 139mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F `  - e z )  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( `' F `  - e z )  <_ 
0  <->  ( F `  ( `' F `  - e
z ) )  <_ 
( F `  0
) ) )
14195, 113, 140sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  - e z )  <_  0  <->  ( F `  ( `' F `  - e z ) )  <_  ( F ` 
0 ) ) )
142133, 141mtbird 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  ( `' F `  - e z )  <_ 
0 )
14399le0neg1d 9346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( ( `' F `  - e z )  <_  0  <->  0  <_  -u ( `' F `  - e
z ) ) )
144142, 143mtbid 291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  -u ( `' F `  - e
z ) )
14557, 98sstri 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
146145, 95sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  - e z )  e.  RR )
147146recnd 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( `' F `  - e z )  e.  CC )
148147negnegd 9150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u -u ( `' F `  - e z )  =  ( `' F `  - e z ) )
149148fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  - e
z ) )  =  ( F `  ( `' F `  - e
z ) ) )
150149, 112eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
( F `  -u -u ( `' F `  - e
z ) )  = 
- e z )
151 xnegeq 10536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  -u -u ( `' F `  - e
z ) )  = 
- e z  ->  - e ( F `  -u -u ( `' F `  - e z ) )  =  - e  - e z )
152150, 151syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  - e ( F `  -u -u ( `' F `  - e z ) )  =  - e  - e z )
153 xnegneg 10543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR*  ->  - e  - e z  =  z )
154153adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  - e  - e z  =  z )
155152, 154eqtr2d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  -> 
z  =  - e
( F `  -u -u ( `' F `  - e
z ) ) )
156 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  - e z )  ->  ( 0  <_ 
y  <->  0  <_  -u ( `' F `  - e
z ) ) )
157156notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  - e z )  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  -u ( `' F `  - e
z ) ) )
158 negeq 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -u ( `' F `  - e z )  ->  -u y  =  -u -u ( `' F `  - e z ) )
159158fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  -u ( `' F `  - e z )  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u -u ( `' F `  - e
z ) ) )
160 xnegeq 10536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u -u ( `' F `  - e z ) )  ->  - e ( F `  -u y
)  =  - e
( F `  -u -u ( `' F `  - e
z ) ) )
161159, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  -u ( `' F `  - e z )  ->  - e ( F `
 -u y )  = 
- e ( F `
 -u -u ( `' F `  - e z ) ) )
162161eqeq2d 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u ( `' F `  - e z )  ->  ( z  = 
- e ( F `
 -u y )  <->  z  =  - e ( F `  -u -u ( `' F `  - e z ) ) ) )
163157, 162anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u ( `' F `  - e z )  ->  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  - e ( F `  -u y
) )  <->  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  - e z )  /\  z  =  - e ( F `  -u -u ( `' F `  - e z ) ) ) ) )
164163rspcev 2886 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( `' F `  - e z )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  ( -.  0  <_  -u ( `' F `  - e
z )  /\  z  =  - e ( F `
 -u -u ( `' F `  - e z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  - e ( F `  -u y ) ) )
165107, 144, 155, 164syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  - e ( F `  -u y ) ) )
166 iffalse 3574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  0  <_  y  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  - e ( F `  -u y ) )  = 
- e ( F `
 -u y ) )
167166eqeq2d 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  0  <_  y  ->  ( z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  - e
( F `  -u y
) )  <->  z  =  - e ( F `  -u y ) ) )
168167biimpar 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  0  <_  y  /\  z  =  - e
( F `  -u y
) )  ->  z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
- e ( F `
 -u y ) ) )
169168reximi 2652 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( -u
1 [,] 1 ) ( -.  0  <_ 
y  /\  z  =  - e ( F `  -u y ) )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  - e
( F `  -u y
) ) )
170165, 169syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  -.  0  <_  z )  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_  y , 
( F `  y
) ,  - e
( F `  -u y
) ) )
17182, 170pm2.61dan 766 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR*  ->  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
- e ( F `
 -u y ) ) )
17250, 171mprgbir 2615 . . . . . 6  |-  RR*  C_  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
- e ( F `
 -u y ) ) }
1737rnmpt 4927 . . . . . 6  |-  ran  G  =  { z  |  E. y  e.  ( -u 1 [,] 1 ) z  =  if ( 0  <_ 
y ,  ( F `
 y ) , 
- e ( F `
 -u y ) ) }
174172, 173sseqtr4i 3213 . . . . 5  |-  RR*  C_  ran  G
17549, 174eqssi 3197 . . . 4  |-  ran  G  =  RR*
176 dffo2 5457 . . . 4  |-  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) -onto-> RR*  <->  ( G : ( -u 1 [,] 1 ) --> RR*  /\  ran  G  =  RR* ) )
17747, 175, 176mpbir2an 886 . . 3  |-  G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*
178 breq1 4028 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  - e ( F `  -u z
) )  ->  (
( F `  z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  - e
( F `  -u w
) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  - e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) ) ) )
179 breq1 4028 . . . . . . 7  |-  (  - e ( F `  -u z )  =  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  - e ( F `  -u z ) )  -> 
(  - e ( F `
 -u z )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  - e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) ) ) )
180 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <  w )
181 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
182 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  z )
183 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  z ) )
184 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
185183, 184imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
18619ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
187185, 186vtoclga 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  z  ->  z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
188181, 182, 187sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  ( 0 [,] 1
) )
189 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
19017a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  e.  RR )
19198, 181sseldi 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  e.  RR )
19298, 189sseldi 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  RR )
193191, 192, 180ltled 8969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  z  <_  w )
194190, 191, 192, 182, 193letrd 8975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  0  <_  w )
195 breq2 4029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  w ) )
196 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
197195, 196imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( 0  <_  y  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( 0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) ) )
198197, 186vtoclga 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  (
0  <_  w  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
199189, 194, 198sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1
) )
200 isorel 5825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
201136, 200mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( z  < 
w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
202188, 199, 201syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  (
z  <  w  <->  ( F `  z )  <  ( F `  w )
) )
203180, 202mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  ( F `  w
) )
204 iftrue 3573 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  w  ->  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) )  =  ( F `  w
) )
205194, 204syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) )  =  ( F `  w
) )
206203, 205breqtrrd 4051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  0  <_ 
z )  ->  ( F `  z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) ) )
207 breq2 4029 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w
) )  ->  (  - e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )  <->  - e ( F `  -u z )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) ) ) )
208 breq2 4029 . . . . . . . 8  |-  (  - e ( F `  -u w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) )  -> 
(  - e ( F `
 -u z )  <  - e ( F `  -u w )  <->  - e ( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  - e
( F `  -u w
) ) ) )
209 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
210 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -.  0  <_  z )
211183notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  z ) )
212 negeq 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  -u y  =  -u z )
213212eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
214211, 213imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
21541ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
216214, 215vtoclga 2851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  z  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
217209, 210, 216sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1
) )
218217adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
21924ffvelrni 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u z  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
220218, 219syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2218, 220sseldi 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  -u z
)  e.  RR* )
222221xnegcld 10622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  - e ( F `  -u z )  e.  RR* )
22385a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  e.  RR* )
224 simpll2 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
225 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  w )
226224, 225, 198sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
22724ffvelrni 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  w )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
228226, 227syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2298, 228sseldi 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  w
)  e.  RR* )
230210adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  z )
231 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  ( -u
1 [,] 1 ) )
23298, 231sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  e.  RR )
233 ltnle 8904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
234232, 17, 233sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  -.  0  <_  z )
)
235230, 234mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
z  <  0 )
236232lt0neg1d 9344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( z  <  0  <->  0  <  -u z ) )
237235, 236mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  -u z )
238 isorel 5825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  < 
( F `  -u z
) ) )
239136, 238mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  <  -u z  <->  ( F ` 
0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
240113, 218, 239sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  -u z  <->  ( F `  0 )  <  ( F `  -u z ) ) )
241237, 240mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( F `  0
)  <  ( F `  -u z ) )
242130, 241syl5eqbrr 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <  ( F `  -u z ) )
243 xlt0neg2 10549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  -u z
)  e.  RR*  ->  ( 0  <  ( F `
 -u z )  <->  - e ( F `  -u z
)  <  0 ) )
244221, 243syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
( 0  <  ( F `  -u z )  <->  - e ( F `  -u z )  <  0
) )
245242, 244mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  - e ( F `  -u z )  <  0
)
246 elxrge0 10749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( F `  w )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  w
) ) )
247246simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  w )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  w
) )
248228, 247syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  -> 
0  <_  ( F `  w ) )
249222, 223, 229, 245, 248xrltletrd 10494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  0  <_  w )  ->  - e ( F `  -u z )  <  ( F `  w )
)
250 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  <  w
)
251 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25298, 251sseldi 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  z  e.  RR )
253 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )
25498, 253sseldi 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  w  e.  RR )
255252, 254ltnegd 9352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( z  < 
w  <->  -u w  <  -u z
) )
256250, 255mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  <  -u z
)
257 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -.  0  <_  w )
258195notbid 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  0  <_  y  <->  -.  0  <_  w ) )
259 negeq 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  -u y  =  -u w )
260259eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( -u y  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
261258, 260imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( -.  0  <_ 
y  ->  -u y  e.  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1
) ) ) )
262261, 215vtoclga 2851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( -.  0  <_  w  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
263253, 257, 262sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u w  e.  ( 0 [,] 1 ) )
264217adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )
265 isorel 5825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( ( 0 [,] 1
) ,  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z ) ) )
266136, 265mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u w  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -u z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
267263, 264, 266syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( -u w  <  -u z  <->  ( F `  -u w )  < 
( F `  -u z
) ) )
268256, 267mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  <  ( F `  -u z ) )
26924ffvelrni 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u w  e.  ( 0 [,] 1 )  -> 
( F `  -u w
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
270263, 269syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
2718, 270sseldi 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u w )  e.  RR* )
272264, 219syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
2738, 272sseldi 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( F `  -u z )  e.  RR* )
274 xltneg 10546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  -u w
)  e.  RR*  /\  ( F `  -u z )  e.  RR* )  ->  (
( F `  -u w
)  <  ( F `  -u z )  <->  - e ( F `  -u z
)  <  - e ( F `  -u w
) ) )
275271, 273, 274syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  ( ( F `
 -u w )  < 
( F `  -u z
)  <->  - e ( F `
 -u z )  <  - e ( F `  -u w ) ) )
276268, 275mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  /\  -.  0  <_  w )  ->  - e ( F `
 -u z )  <  - e ( F `  -u w ) )
277207, 208, 249, 276ifbothda 3597 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  w  e.  ( -u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  /\  -.  0  <_  z )  ->  - e
( F `  -u z
)  <  if (
0  <_  w , 
( F `  w
) ,  - e
( F `  -u w
) ) )
278178, 179, 206, 277ifbothda 3597 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
)  /\  z  <  w )  ->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  - e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) ) )
2792783expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  if ( 0  <_  z ,  ( F `  z ) ,  - e ( F `  -u z ) )  < 
if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) ) ) )
280 fveq2 5527 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
281212fveq2d 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u z ) )
282 xnegeq 10536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u z )  ->  - e ( F `  -u y )  =  - e ( F `  -u z ) )
283281, 282syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  - e
( F `  -u y
)  =  - e
( F `  -u z
) )
284183, 280, 283ifbieq12d 3589 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  - e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
- e ( F `
 -u z ) ) )
285 fvex 5541 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
286 xnegex 10537 . . . . . . . 8  |-  - e
( F `  -u z
)  e.  _V
287285, 286ifex 3625 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  z , 
( F `  z
) ,  - e
( F `  -u z
) )  e.  _V
288284, 7, 287fvmpt 5604 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  z )  =  if ( 0  <_ 
z ,  ( F `
 z ) , 
- e ( F `
 -u z ) ) )
289 fveq2 5527 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
290259fveq2d 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  -u y )  =  ( F `  -u w ) )
291 xnegeq 10536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  -u y
)  =  ( F `
 -u w )  ->  - e ( F `  -u y )  =  - e ( F `  -u w ) )
292290, 291syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  - e
( F `  -u y
)  =  - e
( F `  -u w
) )
293195, 289, 292ifbieq12d 3589 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  if ( 0  <_  y ,  ( F `  y ) ,  - e ( F `  -u y ) )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) ) )
294 fvex 5541 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
295 xnegex 10537 . . . . . . . 8  |-  - e
( F `  -u w
)  e.  _V
296294, 295ifex 3625 . . . . . . 7  |-  if ( 0  <_  w , 
( F `  w
) ,  - e
( F `  -u w
) )  e.  _V
297293, 7, 296fvmpt 5604 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( G `  w )  =  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) ) )
298288, 297breqan12d 4040 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
( G `  z
)  <  ( G `  w )  <->  if (
0  <_  z , 
( F `  z
) ,  - e
( F `  -u z
) )  <  if ( 0  <_  w ,  ( F `  w ) ,  - e ( F `  -u w ) ) ) )
299279, 298sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( -u
1 [,] 1 )  /\  w  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  (
z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w ) ) )
300299rgen2a 2611 . . 3  |-  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) )
301 soisoi 5827 . . 3  |-  ( ( (  <  Or  ( -u 1 [,] 1 )  /\  <  Po  RR* )  /\  ( G :
( -u 1 [,] 1
) -onto-> RR*  /\  A. z  e.  ( -u 1 [,] 1 ) A. w  e.  ( -u 1 [,] 1 ) ( z  <  w  ->  ( G `  z )  <  ( G `  w
) ) ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
3024, 6, 177, 300, 301mp4an 654 . 2  |-  G  Isom  <  ,  <  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
303 letsr 14351 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
304303elexi 2799 . . . . 5  |-  <_  e.  _V
305304inex1 4157 . . . 4  |-  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  e.  _V
306 ssid 3199 . . . . . . 7  |-  RR*  C_  RR*
307 leiso 11399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1 [,] 1 )  C_  RR*  /\  RR*  C_ 
RR* )  ->  ( G  Isom  <  ,  <  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) 
<->  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) ) )
3081, 306, 307mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )
)
309302, 308mpbi 199 . . . . 5  |-  G  Isom  <_  ,  <_  ( ( -u
1 [,] 1 ) ,  RR* )
310 isores1 5833 . . . . 5  |-  ( G 
Isom  <_  ,  <_  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  <->  G 
Isom  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )
311309, 310mpbi 199 . . . 4  |-  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* )
312 tsrps 14332 . . . . . . . 8  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
313303, 312ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  <_  e.  PosetRel
314 ledm 14348 . . . . . . . 8  |-  RR*  =  dom  <_
315314psssdm 14327 . . . . . . 7  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  ( -u 1 [,] 1 ) 
C_  RR* )  ->  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 ) )
316313, 1, 315mp2an 653 . . . . . 6  |-  dom  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )  =  ( -u 1 [,] 1 )
317316eqcomi 2289 . . . . 5  |-  ( -u
1 [,] 1 )  =  dom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
318317, 314ordthmeo 17495 . . . 4  |-  ( ( (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) )  e.  _V  /\ 
<_  e.  TosetRel  /\  G  Isom  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) ,  <_  ( ( -u 1 [,] 1 ) ,  RR* ) )  ->  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) )  Homeo  (ordTop `  <_  ) ) )
319305, 303, 311, 318mp3an 1277 . . 3  |-  G  e.  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )  Homeo  (ordTop `  <_  ) )
320 xrhmeo.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
321 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  =  (ordTop `  <_  )
322320, 321xrrest2 18316 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1 [,] 1
)  C_  RR  ->  ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  (
-u 1 [,] 1
) ) )
32398, 322ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u
1 [,] 1 ) )
324 ordtresticc 16955 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( -u 1 [,] 1 ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u 1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )
325323, 324eqtri 2305 . . . 4  |-  ( Jt  (
-u 1 [,] 1
) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  (
( -u 1 [,] 1
)  X.  ( -u
1 [,] 1 ) ) ) )
326325oveq1i 5870 . . 3  |-  ( ( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) )  Homeo  (ordTop `  <_  ) )  =  ( (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( -u
1 [,] 1 )  X.  ( -u 1 [,] 1 ) ) ) )  Homeo  (ordTop `  <_  ) )
327319, 326eleqtrri 2358 . 2  |-  G  e.  ( ( Jt  ( -u
1 [,] 1 ) )  Homeo  (ordTop `  <_  ) )
328302, 327pm3.2i 441 1  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( -u 1 [,] 1
) ,  RR* )  /\  G  e.  (
( Jt  ( -u 1 [,] 1 ) )  Homeo  (ordTop `  <_  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   {cab 2271    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ifcif 3567   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    Po wpo 4314    Or wor 4315    X. cxp 4689   `'ccnv 4690   dom cdm 4691   ran crn 4692   -->wf 5253   -onto->wfo 5255   -1-1-onto->wf1o 5256   ` cfv 5257    Isom wiso 5258  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    +oocpnf 8866   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039   -ucneg 9040    / cdiv 9425    - ecxne 10451   [,]cicc 10661   ↾t crest 13327   TopOpenctopn 13328  ordTopcordt 13400   PosetRelcps 14303    TosetRel ctsr 14304  ℂfldccnfld 16379    Homeo chmeo 17446   IIcii 18381
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-ordt 13404  df-ps 14308  df-tsr 14309  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cn 16959  df-hmeo 17448  df-xms 17887  df-ms 17888  df-ii 18383
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