MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfm0 Structured version   Unicode version

Theorem xrinfm0 10920
Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrinfm0  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  =  +oo

Proof of Theorem xrinfm0
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10739 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5414 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 201 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  `'  <  Or  RR* )
5 pnfxr 10718 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
65a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  +oo  e.  RR* )
7 noel 3634 . . . . 5  |-  -.  y  e.  (/)
87pm2.21i 126 . . . 4  |-  ( y  e.  (/)  ->  -.  +oo `'  <  y )
98adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  (/) )  ->  -.  +oo `'  <  y )
10 vex 2961 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
115elexi 2967 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  _V
1210, 11brcnv 5058 . . . . . 6  |-  ( y `'  <  +oo  <->  +oo  <  y )
13 pnfnlt 10730 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
1413pm2.21d 101 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1512, 14syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y `'  <  +oo  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1615imp 420 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y `'  <  +oo )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
1716adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR*  /\  y `'  <  +oo ) )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
184, 6, 9, 17eqsupd 7465 . 2  |-  (  T. 
->  sup ( (/) ,  RR* ,  `'  <  )  =  +oo )
1918trud 1333 1  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  =  +oo
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   (/)c0 3630   class class class wbr 4215    Or wor 4505   `'ccnv 4880   supcsup 7448    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    < clt 9125
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  13382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130
  Copyright terms: Public domain W3C validator