MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfm0 Structured version   Unicode version

Theorem xrinfm0 10907
Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrinfm0  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  =  +oo

Proof of Theorem xrinfm0
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10726 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
2 cnvso 5403 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
31, 2mpbi 200 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
43a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  `'  <  Or  RR* )
5 pnfxr 10705 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
65a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  +oo  e.  RR* )
7 noel 3624 . . . . 5  |-  -.  y  e.  (/)
87pm2.21i 125 . . . 4  |-  ( y  e.  (/)  ->  -.  +oo `'  <  y )
98adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  y  e.  (/) )  ->  -.  +oo `'  <  y )
10 vex 2951 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
115elexi 2957 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  _V
1210, 11brcnv 5047 . . . . . 6  |-  ( y `'  <  +oo  <->  +oo  <  y )
13 pnfnlt 10717 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
1413pm2.21d 100 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1512, 14syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y `'  <  +oo  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z ) )
1615imp 419 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y `'  <  +oo )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
1716adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR*  /\  y `'  <  +oo ) )  ->  E. z  e.  (/)  y `'  <  z )
184, 6, 9, 17eqsupd 7454 . 2  |-  (  T. 
->  sup ( (/) ,  RR* ,  `'  <  )  =  +oo )
1918trud 1332 1  |-  sup ( (/)
,  RR* ,  `'  <  )  =  +oo
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    Or wor 4494   `'ccnv 4869   supcsup 7437    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  13369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117
  Copyright terms: Public domain W3C validator