MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfmss Structured version   Unicode version

Theorem xrinfmss 10893
Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmss  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmss
StepHypRef Expression
1 xrinfmsslem 10891 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/  -oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2 ssdifss 3480 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  \  {  +oo } ) 
C_  RR* )
3 ssxr 9150 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  {  +oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  {  +oo } )  C_  RR  \/  +oo  e.  ( A 
\  {  +oo }
)  \/  -oo  e.  ( A  \  {  +oo } ) ) )
4 3orass 940 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  {  +oo } )  C_  RR  \/  +oo  e.  ( A 
\  {  +oo }
)  \/  -oo  e.  ( A  \  {  +oo } ) )  <->  ( ( A  \  {  +oo }
)  C_  RR  \/  (  +oo  e.  ( A 
\  {  +oo }
)  \/  -oo  e.  ( A  \  {  +oo } ) ) ) )
5 pnfxr 10718 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
65elexi 2967 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e.  _V
76snid 3843 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  { 
+oo }
8 elndif 3473 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo  e.  {  +oo }  ->  -. 
+oo  e.  ( A  \  {  +oo } ) )
9 biorf 396 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
+oo  e.  ( A  \  {  +oo } )  ->  (  -oo  e.  ( A  \  {  +oo } )  <->  (  +oo  e.  ( A  \  {  +oo } )  \/  -oo  e.  ( A  \  {  +oo } ) ) ) )
107, 8, 9mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  (  -oo  e.  ( A  \  {  +oo } )  <->  (  +oo  e.  ( A  \  {  +oo } )  \/  -oo  e.  ( A  \  {  +oo } ) ) )
1110orbi2i 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  {  +oo } )  C_  RR  \/  -oo  e.  ( A 
\  {  +oo }
) )  <->  ( ( A  \  {  +oo }
)  C_  RR  \/  (  +oo  e.  ( A 
\  {  +oo }
)  \/  -oo  e.  ( A  \  {  +oo } ) ) ) )
124, 11bitr4i 245 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  {  +oo } )  C_  RR  \/  +oo  e.  ( A 
\  {  +oo }
)  \/  -oo  e.  ( A  \  {  +oo } ) )  <->  ( ( A  \  {  +oo }
)  C_  RR  \/  -oo 
e.  ( A  \  {  +oo } ) ) )
133, 12sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( A  \  {  +oo } )  C_  RR*  ->  (
( A  \  {  +oo } )  C_  RR  \/  -oo  e.  ( A 
\  {  +oo }
) ) )
14 xrinfmsslem 10891 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  {  +oo } )  C_  RR*  /\  (
( A  \  {  +oo } )  C_  RR  \/  -oo  e.  ( A 
\  {  +oo }
) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  {  +oo }
)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  {  +oo } ) z  < 
y ) ) )
1513, 14mpdan 651 . . . 4  |-  ( ( A  \  {  +oo } )  C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  {  +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  {  +oo } ) z  < 
y ) ) )
162, 15syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  {  +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  {  +oo } ) z  < 
y ) ) )
17 xrinfmexpnf 10889 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  {  +oo }
)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  {  +oo } ) z  < 
y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  {  +oo } )  u.  {  +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  {  +oo } )  u. 
{  +oo } ) z  <  y ) ) )
186snss 3928 . . . . . . 7  |-  (  +oo  e.  A  <->  {  +oo }  C_  A )
19 undif 3710 . . . . . . . 8  |-  ( { 
+oo }  C_  A  <->  ( {  +oo }  u.  ( A 
\  {  +oo }
) )  =  A )
20 uncom 3493 . . . . . . . . 9  |-  ( { 
+oo }  u.  ( A  \  {  +oo }
) )  =  ( ( A  \  {  +oo } )  u.  {  +oo } )
2120eqeq1i 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( {  +oo }  u.  ( A  \  {  +oo } ) )  =  A  <-> 
( ( A  \  {  +oo } )  u. 
{  +oo } )  =  A )
2219, 21bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( { 
+oo }  C_  A  <->  ( ( A  \  {  +oo }
)  u.  {  +oo } )  =  A )
2318, 22bitri 242 . . . . . 6  |-  (  +oo  e.  A  <->  ( ( A 
\  {  +oo }
)  u.  {  +oo } )  =  A )
24 raleq 2906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  {  +oo } )  u.  {  +oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  ( ( A  \  {  +oo } )  u. 
{  +oo } )  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x ) )
25 rexeq 2907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  {  +oo } )  u.  {  +oo } )  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ( A  \  {  +oo } )  u. 
{  +oo } ) z  <  y  <->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
2625imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  {  +oo } )  u.  {  +oo } )  =  A  ->  ( ( x  <  y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  {  +oo } )  u. 
{  +oo } ) z  <  y )  <->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2726ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  {  +oo } )  u.  {  +oo } )  =  A  ->  ( A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  {  +oo } )  u. 
{  +oo } ) z  <  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2824, 27anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  {  +oo } )  u.  {  +oo } )  =  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  {  +oo }
)  u.  {  +oo } )  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  {  +oo } )  u. 
{  +oo } ) z  <  y ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
2923, 28sylbi 189 . . . . 5  |-  (  +oo  e.  A  ->  ( ( A. y  e.  ( ( A  \  {  +oo } )  u.  {  +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  {  +oo } )  u. 
{  +oo } ) z  <  y ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3029rexbidv 2728 . . . 4  |-  (  +oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (
( A  \  {  +oo } )  u.  {  +oo } )  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( ( A  \  {  +oo } )  u. 
{  +oo } ) z  <  y ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3117, 30syl5ib 212 . . 3  |-  (  +oo  e.  A  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ( A  \  {  +oo }
)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  ( A  \  {  +oo } ) z  < 
y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3216, 31mpan9 457 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
33 ssxr 9150 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A  C_  RR  \/  +oo  e.  A  \/  -oo  e.  A
) )
34 df-3or 938 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  \/  +oo 
e.  A  \/  -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/  +oo  e.  A )  \/  -oo  e.  A ) )
35 or32 515 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  \/  +oo  e.  A )  \/  -oo  e.  A
)  <->  ( ( A 
C_  RR  \/  -oo  e.  A )  \/  +oo  e.  A ) )
3634, 35bitri 242 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  \/  +oo 
e.  A  \/  -oo  e.  A )  <->  ( ( A  C_  RR  \/  -oo  e.  A )  \/  +oo  e.  A ) )
3733, 36sylib 190 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( ( A  C_  RR  \/  -oo  e.  A )  \/  +oo  e.  A ) )
381, 32, 37mpjaodan 763 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    \/ w3o 936    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215   RRcr 8994    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125
This theorem is referenced by:  xrinfmss2  10894  xrsclat  24207  xrsp0  24208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299
  Copyright terms: Public domain W3C validator