MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfmss2 Unicode version

Theorem xrinfmss2 10631
Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmss2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmss2
StepHypRef Expression
1 xrinfmss 10630 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2 vex 2793 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 vex 2793 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
42, 3brcnv 4866 . . . . . 6  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
54notbii 287 . . . . 5  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
65ralbii 2569 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x )
73, 2brcnv 4866 . . . . . 6  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
8 vex 2793 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
93, 8brcnv 4866 . . . . . . 7  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
109rexbii 2570 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  y )
117, 10imbi12i 316 . . . . 5  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1211ralbii 2569 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
136, 12anbi12i 678 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
1413rexbii 2570 . 2  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
151, 14sylibr 203 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   `'ccnv 4690   RR*cxr 8868    < clt 8869
This theorem is referenced by:  infmxrcl  10637  infmxrlb  10654  infmxrgelb  10655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042
  Copyright terms: Public domain W3C validator