MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfmss2 Unicode version

Theorem xrinfmss2 10822
Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmss2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmss2
StepHypRef Expression
1 xrinfmss 10821 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2 vex 2903 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 vex 2903 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
42, 3brcnv 4996 . . . . . 6  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
54notbii 288 . . . . 5  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
65ralbii 2674 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x )
73, 2brcnv 4996 . . . . . 6  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
8 vex 2903 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
93, 8brcnv 4996 . . . . . . 7  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
109rexbii 2675 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  y )
117, 10imbi12i 317 . . . . 5  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1211ralbii 2674 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
136, 12anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
1413rexbii 2675 . 2  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
151, 14sylibr 204 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   `'ccnv 4818   RR*cxr 9053    < clt 9054
This theorem is referenced by:  infmxrcl  10828  infmxrlb  10845  infmxrgelb  10846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227
  Copyright terms: Public domain W3C validator