MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfmss2 Structured version   Unicode version

Theorem xrinfmss2 10881
Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmss2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmss2
StepHypRef Expression
1 xrinfmss 10880 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2 vex 2951 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 vex 2951 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
42, 3brcnv 5047 . . . . . 6  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
54notbii 288 . . . . 5  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
65ralbii 2721 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  x )
73, 2brcnv 5047 . . . . . 6  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
8 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
93, 8brcnv 5047 . . . . . . 7  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
109rexbii 2722 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  y `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  y )
117, 10imbi12i 317 . . . . 5  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1211ralbii 2721 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
136, 12anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
1413rexbii 2722 . 2  |-  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
151, 14sylibr 204 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   RR*cxr 9111    < clt 9112
This theorem is referenced by:  infmxrcl  10887  infmxrlb  10904  infmxrgelb  10905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286
  Copyright terms: Public domain W3C validator