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Theorem xrinfmsslem 10891
Description: Lemma for xrinfmss 10893. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmsslem  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/  -oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrinfmsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 2906 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x ) )
2 rexeq 2907 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  <->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) )
32imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
43ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y ) ) )
51, 4anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y ) ) ) )
65rexbidv 2728 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) ) )
7 infm3 9972 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
8 rexr 9135 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
98anim1i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
109reximi2 2814 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
117, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
12 elxr 10721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = 
+oo  \/  y  =  -oo ) )
13 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
14 ssel 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
15 ltpnf 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  RR  ->  z  <  +oo )
1614, 15syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  <  +oo ) )
1716ancld 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  A  /\  z  <  +oo ) ) )
1817eximdv 1633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. z ( z  e.  A  /\  z  <  +oo ) ) )
19 n0 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
20 df-rex 2713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. z  e.  A  z  <  +oo  <->  E. z ( z  e.  A  /\  z  <  +oo ) )
2118, 19, 203imtr4g 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  z  <  +oo ) )
2221imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  z  <  +oo )
2322a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
x  <  +oo  ->  E. z  e.  A  z  <  +oo ) )
2423ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  =  +oo )  -> 
( x  <  +oo  ->  E. z  e.  A  z  <  +oo ) )
25 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  +oo  ->  (
x  <  y  <->  x  <  +oo ) )
26 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  +oo  ->  (
z  <  y  <->  z  <  +oo ) )
2726rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  +oo  ->  ( E. z  e.  A  z  <  y  <->  E. z  e.  A  z  <  +oo ) )
2825, 27imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  +oo  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  <  +oo  ->  E. z  e.  A  z  <  +oo ) ) )
2928adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  =  +oo )  -> 
( ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  ( x  <  +oo  ->  E. z  e.  A  z  <  +oo ) ) )
3024, 29mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  =  +oo )  -> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
3130ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( y  =  +oo  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
3231adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  =  +oo  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
33 nltmnf 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  <  -oo )
3433adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  =  -oo )  ->  -.  x  <  -oo )
35 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  <  -oo ) )
3635notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  -oo ) )
3736adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  =  -oo )  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  x  <  -oo ) )
3834, 37mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  =  -oo )  ->  -.  x  <  y )
3938pm2.21d 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  =  -oo )  ->  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
4039ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  =  -oo  ->  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4140ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  =  -oo  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4213, 32, 413jaod 1249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( (
y  e.  RR  \/  y  =  +oo  \/  y  =  -oo )  ->  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4312, 42syl5bi 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4443ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( y  e.  RR  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  (
y  e.  RR*  ->  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
4544ralimdv2 2788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  ->  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
4645anim2d 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
4746reximdva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
48473adant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
4911, 48mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
50493expa 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
51 ralnex 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)
52 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  -.  x  <_  y  <->  -.  A. y  e.  A  x  <_  y )
53 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
54 letric 9179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
5554ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
5655ord 368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_ 
y  ->  y  <_  x ) )
5753, 56sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <_  y  ->  y  <_  x ) )
5857an32s 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x  <_  y  ->  y  <_  x ) )
5958reximdva 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  -.  x  <_  y  ->  E. y  e.  A  y  <_  x ) )
6052, 59syl5bir 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. y  e.  A  y  <_  x ) )
6160ralimdva 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x
) )
6261imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x )
6351, 62sylan2br 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x
)
64 breq1 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  <_  x  <->  z  <_  x ) )
6564cbvrexv 2935 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. z  e.  A  z  <_  x )
6665ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )
6763, 66sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x
)
68 mnfxr 10719 . . . . . . . 8  |-  -oo  e.  RR*
69 ssel 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
70 rexr 9135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
71 nltmnf 10731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  <  -oo )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y  <  -oo )
7369, 72syl6 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  <  -oo ) )
7473ralrimiv 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  A. y  e.  A  -.  y  <  -oo )
7574adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  A. y  e.  A  -.  y  <  -oo )
76 peano2rem 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  -  1 )  e.  RR )
77 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( y  - 
1 )  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  ( y  -  1 ) ) )
7877rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( y  - 
1 )  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  x  <->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  -  1 ) ) )
7978rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  -  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  -  1 ) )
8079adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  -  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR ) )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 ) )
8180ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  ( y  - 
1 )  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 ) )
8276, 81sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 ) )
83 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
84 ltm1 9855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  -  1 )  <  y )
8584adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  -  1 )  <  y )
8676ancri 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y  -  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
87 lelttr 9170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( y  -  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  <_ 
( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  < 
y )  ->  z  <  y ) )
88873expb 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( y  - 
1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( (
z  <_  ( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  <  y )  ->  z  <  y
) )
8986, 88sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  <_ 
( y  -  1 )  /\  ( y  -  1 )  < 
y )  ->  z  <  y ) )
9085, 89mpan2d 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <_  (
y  -  1 )  ->  z  <  y
) )
9183, 90sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <_ 
( y  -  1 )  ->  z  <  y ) )
9291an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( z  <_  ( y  -  1 )  ->  z  <  y ) )
9392reximdva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  ( y  - 
1 )  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
9493adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  ( y  -  1 )  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
9582, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <  y )
9695exp31 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
9796a1dd 45 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  (  -oo  <  y  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
9897com4r 83 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
99 0re 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
100 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  0 ) )
101100rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  x  <->  E. z  e.  A  z  <_  0 ) )
102101rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  E. z  e.  A  z  <_  0 )
10399, 102mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  E. z  e.  A  z  <_  0 )
10483, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  <  +oo )
105104a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  (
z  <_  0  ->  z  <  +oo ) )
106105reximdva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  e.  A  z  <_  0  ->  E. z  e.  A  z  <  +oo ) )
107103, 106mpan9 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <  +oo )
108107, 27syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  +oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
109108a1dd 45 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  +oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  /\  A  C_  RR )  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
110109exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  +oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
111 xrltnr 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  -oo  e.  RR*  ->  -.  -oo  <  -oo )
11268, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  -oo  <  -oo
113 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  -oo  ->  (  -oo  <  y  <->  -oo  <  -oo ) )
114112, 113mtbiri 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  -oo  ->  -.  -oo 
<  y )
115114pm2.21d 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  -oo  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
116115a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -oo  ->  ( A  C_  RR  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
117116a1d 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  -oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
11898, 110, 1173jaoi 1248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  \/  y  =  +oo  \/  y  =  -oo )  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
11912, 118sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( A  C_  RR  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
120119com13 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x  ->  ( y  e. 
RR*  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
121120imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  ( y  e.  RR*  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
122121ralrimiv 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  A. y  e.  RR*  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
12375, 122jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  -oo  /\  A. y  e.  RR*  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
124 breq2 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -oo  ->  (
y  <  x  <->  y  <  -oo ) )
125124notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  <  -oo ) )
126125ralbidv 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -oo  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  A  -.  y  <  -oo ) )
127 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -oo  ->  (
x  <  y  <->  -oo  <  y
) )
128127imbi1d 310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -oo  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
129128ralbidv 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y )  <->  A. y  e.  RR*  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
130126, 129anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -oo  ->  (
( A. y  e.  A  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  -oo  /\  A. y  e.  RR*  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
131130rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  y  <  -oo  /\  A. y  e.  RR*  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
13268, 123, 131sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  z  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
13367, 132syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
134133adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
13550, 134pm2.61dan 768 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
136 pnfxr 10718 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
137 ral0 3734 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  -.  y  <  +oo
138 pnfnlt 10730 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
139138pm2.21d 101 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  (  +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) )
140139rgen 2773 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  RR*  (  +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y )
141137, 140pm3.2i 443 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  (/)  -.  y  <  +oo  /\  A. y  e.  RR*  (  +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) )
142 breq2 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  +oo  ->  (
y  <  x  <->  y  <  +oo ) )
143142notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  +oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  y  <  +oo ) )
144143ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  +oo  ->  ( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  <->  A. y  e.  (/)  -.  y  <  +oo )
)
145 breq1 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  +oo  ->  (
x  <  y  <->  +oo  <  y
) )
146145imbi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  +oo  ->  (
( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y )  <->  (  +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
147146ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  +oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y )  <->  A. y  e.  RR*  (  +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) ) )
148144, 147anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( x  =  +oo  ->  (
( A. y  e.  (/)  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  < 
y ) )  <->  ( A. y  e.  (/)  -.  y  <  +oo  /\  A. y  e.  RR*  (  +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) ) ) )
149148rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  (/)  -.  y  <  +oo  /\  A. y  e.  RR*  (  +oo  <  y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
150136, 141, 149mp2an 655 . . . . 5  |-  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) )
151150a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  y  < 
x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  (/)  z  <  y
) ) )
1526, 135, 151pm2.61ne 2681 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
153152adantl 454 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A  C_  RR )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
154 ssel 3344 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
155154, 71syl6 32 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  <  -oo ) )
156155ralrimiv 2790 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -.  y  <  -oo )
157 breq1 4218 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -oo  ->  (
z  <  y  <->  -oo  <  y
) )
158157rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( 
-oo  e.  A  /\  -oo 
<  y )  ->  E. z  e.  A  z  <  y )
159158ex 425 . . . . 5  |-  (  -oo  e.  A  ->  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
160159ralrimivw 2792 . . . 4  |-  (  -oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR*  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
161156, 160anim12i 551 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  -oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y  <  -oo  /\  A. y  e.  RR*  (  -oo  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
16268, 161, 131sylancr 646 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
163153, 162jaodan 762 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/  -oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR*  (
x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296
This theorem is referenced by:  xrinfmss  10893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299
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