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Theorem xrlimcnp 20807
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the corresponding extended real function at  +oo. Since any  ~~> r limit can be written in the form on the left side of the implication, this shows that real limits are a special case of topological continuity at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlimcnp.a  |-  ( ph  ->  A  =  ( B  u.  {  +oo }
) )
xrlimcnp.b  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
xrlimcnp.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
xrlimcnp.c  |-  ( x  =  +oo  ->  R  =  C )
xrlimcnp.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
xrlimcnp.k  |-  K  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
Assertion
Ref Expression
xrlimcnp  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    ph, x    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    R( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem xrlimcnp
Dummy variables  k 
r  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlimcnp.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
31, 2fmptd 5893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
43adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
5 ssun2 3511 . . . . . . . . . 10  |-  {  +oo } 
C_  ( B  u.  { 
+oo } )
6 pnfxr 10713 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
76elexi 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  _V
87snid 3841 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e.  { 
+oo }
95, 8sselii 3345 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  ( B  u.  {  +oo } )
10 xrlimcnp.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( B  u.  {  +oo }
) )
119, 10syl5eleqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  +oo  e.  A )
121ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
13 xrlimcnp.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  +oo  ->  R  =  C )
1413eleq1d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  +oo  ->  ( R  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
1514rspcv 3048 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
1611, 12, 15sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1713, 2fvmptg 5804 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
+oo  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C
)
1811, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C
)
1918ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C )
2019eleq1d 2502 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  <->  C  e.  y ) )
21 cnxmet 18807 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
22 xrlimcnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2322cnfldtopn 18816 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
2423mopni2 18523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  J  /\  C  e.  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
)
2521, 24mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  J  /\  C  e.  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
)
26 ssun1 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( B  u.  {  +oo } )
2726, 10syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
28 ssralv 3407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC ) )
2927, 12, 28sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
31 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  r  e.  RR+ )
32 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )
3330, 31, 32rlimi 12307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
34 letop 17270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  (ordTop `  <_  )  e.  Top )
36 xrlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
37 ressxr 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
3836, 37syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  C_  RR* )
396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  +oo  e.  RR* )
4039snssd 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  {  +oo }  C_  RR* )
4138, 40unssd 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {  +oo } )  C_  RR* )
4210, 41eqsstrd 3382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
43 xrex 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR*  e.  _V
4443ssex 4347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A  e.  _V )
4542, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
4645ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A  e.  _V )
47 iocpnfordt 17279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( k (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )
49 elrestr 13656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  ( k (,] 
+oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
5035, 46, 48, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
51 xrlimcnp.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
5250, 51syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  e.  K
)
53 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  k  e.  RR )
5453rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  k  e.  RR* )
556a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
56 ltpnf 10721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  +oo )
5753, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  k  <  +oo )
58 ubioc1 10965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  k  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( k (,]  +oo ) )
5954, 55, 57, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  ( k (,]  +oo )
)
6011ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  A
)
61 elin 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  +oo  e.  ( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  <->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  /\  +oo  e.  A
) )
6259, 60, 61sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )
63 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR )
6463rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR* )
65 elioc1 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  k  < 
x  /\  x  <_  +oo ) ) )
6664, 6, 65sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( k (,]  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR*  /\  k  <  x  /\  x  <_  +oo ) ) )
67 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  k  <  x  /\  x  <_  +oo )  ->  k  < 
x )
6866, 67syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  k  <  x
) )
6936ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  B  C_  RR )
7069sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  RR )
71 ltle 9163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  <  x  ->  k  <_  x )
)
7263, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( k  <  x  ->  k  <_  x ) )
7368, 72syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  k  <_  x
) )
7421a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
75 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  ->  r  e.  RR+ )
7675ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  r  e.  RR+ )
77 rpxr 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  r  e.  RR* )
7916ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
8029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
8180r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  R  e.  CC )
82 elbl3 18422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( C  e.  CC  /\  R  e.  CC ) )  -> 
( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( R
( abs  o.  -  ) C )  <  r
) )
8374, 78, 79, 81, 82syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( R ( abs 
o.  -  ) C
)  <  r )
)
84 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
8584cnmetdval 18805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( R ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( R  -  C
) ) )
8681, 79, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( R
( abs  o.  -  ) C )  =  ( abs `  ( R  -  C ) ) )
8786breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( R ( abs  o.  -  ) C )  <  r  <->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) )
8883, 87bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
8988biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
r  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
9073, 89imim12d 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r )  -> 
( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
9190ralimdva 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )  ->  A. x  e.  B  ( x  e.  (
k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
9291impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  B  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
9321a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9416ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  C  e.  CC )
95 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
96 blcntr 18443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
9897a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
99 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  +oo  ->  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  <->  +oo  e.  ( k (,]  +oo )
) )
10013eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  +oo  ->  ( R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
10199, 100imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  +oo  ->  (
( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
1027, 101ralsn 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  {  +oo } 
( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
10398, 102sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  {  +oo }  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
104 ralunb 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  ( B  u.  {  +oo } ) ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  /\  A. x  e.  {  +oo }  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
10592, 103, 104sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  ( B  u.  {  +oo } ) ( x  e.  ( k (,] 
+oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
10610ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A  =  ( B  u.  {  +oo } ) )
107106raleqdv 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  A. x  e.  ( B  u.  {  +oo } ) ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
108105, 107mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
109 ss2rab 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x  e.  A  |  x  e.  ( k (,]  +oo ) }  C_  { x  e.  A  |  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) }  <->  A. x  e.  A  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
110108, 109sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  { x  e.  A  |  x  e.  ( k (,]  +oo ) }  C_  { x  e.  A  |  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) } )
111 incom 3533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( k (,]  +oo ) )
112 dfin5 3328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  i^i  ( k (,] 
+oo ) )  =  { x  e.  A  |  x  e.  (
k (,]  +oo ) }
113111, 112eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  =  {
x  e.  A  |  x  e.  ( k (,]  +oo ) }
1142mptpreima 5363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) " ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  { x  e.  A  |  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) }
115110, 113, 1143sstr4g 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  C_  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) "
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
116 funmpt 5489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  R )
117 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  C_  A
1183ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
119 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
121117, 120syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  C_  dom  ( x  e.  A  |->  R ) )
122 funimass3 5846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  R )  /\  ( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  C_  dom  ( x  e.  A  |->  R ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  C_  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) " ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
123116, 121, 122sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  C_  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) " ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
124115, 123mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
125 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
126124, 125sstrd 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )  C_  y )
127 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  (  +oo  e.  z  <->  +oo  e.  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) )
128 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " z )  =  ( ( x  e.  A  |->  R )
" ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
) ) )
129128sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y  <->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )  C_  y ) )
130127, 129anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  ( (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )  <->  ( 
+oo  e.  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
131130rspcev 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  e.  K  /\  (  +oo  e.  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) )
13252, 62, 126, 131syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
)
133132rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
134133adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  ( E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
)  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
13533, 134mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
)
136135rexlimdvaa 2831 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
13725, 136syl5 30 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( ( y  e.  J  /\  C  e.  y )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
138137expdimp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( C  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
13920, 138sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  ( 
+oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
140139ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  ->  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
141 letopon 17269 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
142 resttopon 17225 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  A  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  A )  e.  (TopOn `  A
) )
143141, 42, 142sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  <_  )t  A )  e.  (TopOn `  A ) )
14451, 143syl5eqel 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  A ) )
14522cnfldtopon 18817 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
146145a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
147 iscnp 17301 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  A )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )  /\  +oo  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) ) ) )
148144, 146, 11, 147syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) ) ) )
149148adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) ) ) )
1504, 140, 149mpbir2and 889 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )
151 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )
15221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
15316ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
15477adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR* )
15523blopn 18530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
156152, 153, 154, 155syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J )
15718ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C
)
158 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR+ )
159152, 153, 158, 96syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
160157, 159eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
161 cnpimaex 17320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo )  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
162151, 156, 160, 161syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
163 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
164163inex1 4344 . . . . . . . 8  |-  ( w  i^i  A )  e. 
_V
165164a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  w  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  _V )
16651eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  K  <->  z  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
16745ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A  e.  _V )
168 elrest 13655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A )  <->  E. w  e.  (ordTop `  <_  ) z  =  ( w  i^i 
A ) ) )
16934, 167, 168sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( z  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A )  <->  E. w  e.  (ordTop ` 
<_  ) z  =  ( w  i^i  A ) ) )
170166, 169syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( z  e.  K  <->  E. w  e.  (ordTop `  <_  ) z  =  ( w  i^i  A ) ) )
171 eleq2 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (  +oo  e.  z  <->  +oo  e.  ( w  i^i  A ) ) )
172 imaeq2 5199 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) )
173172sseq1d 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
174171, 173anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (
(  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  /\  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
175174adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  =  ( w  i^i  A ) )  ->  ( (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  /\  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
176165, 170, 175rexxfr2d 4740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R )
" z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  (ordTop `  <_  ) ( 
+oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
177162, 176mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  (ordTop ` 
<_  ) (  +oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  ( ( x  e.  A  |->  R )
" ( w  i^i 
A ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
178 inss1 3561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  i^i  A )  C_  w
179178sseli 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  ->  +oo  e.  w
)
180 pnfnei 17284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  w )  ->  E. k  e.  RR  ( k (,] 
+oo )  C_  w
)
181179, 180sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  ( w  i^i  A ) )  ->  E. k  e.  RR  ( k (,] 
+oo )  C_  w
)
182 df-ima 4891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) )  =  ran  ( ( x  e.  A  |->  R )  |`  ( w  i^i  A ) )
183 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  i^i  A )  C_  A
184 resmpt 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  R )  |`  (
w  i^i  A )
)  =  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) )
185183, 184ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  R )  |`  ( w  i^i  A ) )  =  ( x  e.  ( w  i^i  A ) 
|->  R )
186185rneqi 5096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
( x  e.  A  |->  R )  |`  (
w  i^i  A )
)  =  ran  (
x  e.  ( w  i^i  A )  |->  R )
187182, 186eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) )  =  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R )
188187sseq1i 3372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ran  ( x  e.  ( w  i^i  A
)  |->  R )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
189 dfss3 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( x  e.  ( w  i^i  A ) 
|->  R )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i  A
)  |->  R ) z  e.  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
190188, 189bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  (
w  i^i  A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
19112adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
192 ssralv 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  i^i  A ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  CC ) )
193183, 191, 192mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  CC )
194 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R )  =  ( x  e.  ( w  i^i  A
)  |->  R )
195 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  R  ->  (
z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
196194, 195ralrnmpt 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  CC  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
197193, 196syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
198197biimpd 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
199190, 198syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
200 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( k (,]  +oo )  C_  w )
20138ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  B  C_  RR* )
202 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  B )
203201, 202sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  RR* )
204 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
k  <  x )
205 pnfge 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  +oo )
206203, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  <_  +oo )
207 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
k  e.  RR )
208207rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
k  e.  RR* )
209208, 6, 65sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( x  e.  ( k (,]  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  k  <  x  /\  x  <_  +oo ) ) )
210203, 204, 206, 209mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  ( k (,]  +oo ) )
211200, 210sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  w )
21227ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  B  C_  A
)
213212sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  A )
214213adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  A )
215 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  A ) )
216211, 214, 215sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  ( w  i^i  A ) )
217216ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  B  /\  k  <  x )  ->  x  e.  ( w  i^i  A
) ) )
218217imim1d 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  ( w  i^i 
A )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  k  <  x )  ->  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
21921a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
22077adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR* )
221220ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
r  e.  RR* )
22216ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  C  e.  CC )
22329ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
224223r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  x  e.  B
)  ->  R  e.  CC )
225224adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  R  e.  CC )
226219, 221, 222, 225, 82syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( R
( abs  o.  -  ) C )  <  r
) )
227225, 222, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( R ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( R  -  C
) ) )
228227breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( ( R ( abs  o.  -  ) C )  <  r  <->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) )
229226, 228bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) )
230229pm5.74da 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( ( x  e.  B  /\  k  <  x )  ->  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  k  <  x )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
231218, 230sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  ( w  i^i 
A )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  k  <  x )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
232231exp4a 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  ( w  i^i 
A )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
r ) ) ) )
233232ralimdv2 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
234233imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
235234an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
236235expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  k  e.  RR )  ->  (
( k (,]  +oo )  C_  w  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
237236reximdva 2818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( E. k  e.  RR  (
k (,]  +oo )  C_  w  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
238237ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( E. k  e.  RR  ( k (,] 
+oo )  C_  w  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) ) )
239199, 238syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( E. k  e.  RR  (
k (,]  +oo )  C_  w  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) ) )
240239com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  RR  (
k (,]  +oo )  C_  w  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) ) )
241181, 240syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
w  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  ( w  i^i  A ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) ) )
242241impl 604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  w  e.  (ordTop `  <_  ) )  /\  +oo  e.  ( w  i^i  A ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
243242expimpd 587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  w  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  /\  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
244243rexlimdva 2830 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  (ordTop `  <_  ) (  +oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  ( ( x  e.  A  |->  R )
" ( w  i^i 
A ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
245244adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. w  e.  (ordTop `  <_  ) ( 
+oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
246177, 245mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
247246ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) )
24829, 36, 16rlim2lt 12291 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
249248adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo ) )  ->  (
( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
250247, 249mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo ) )  ->  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )
251150, 250impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    o. ccom 4882   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   RR+crp 10612   (,]cioc 10917   abscabs 12039    ~~> r crli 12279   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649  ordTopcordt 13721   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688  ℂfldccnfld 16703   Topctop 16958  TopOnctopon 16959    CnP ccnp 17289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-rlim 12283  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-ordt 13725  df-ps 14629  df-tsr 14630  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cnp 17292  df-xms 18350  df-ms 18351
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