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Theorem xrlimcnp 20265
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the corresponding extended real function at  +oo. Since any  ~~> r limit can be written in the form on the left side of the implication, this shows that real limits are a special case of topological continuity at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlimcnp.a  |-  ( ph  ->  A  =  ( B  u.  {  +oo }
) )
xrlimcnp.b  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
xrlimcnp.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
xrlimcnp.c  |-  ( x  =  +oo  ->  R  =  C )
xrlimcnp.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
xrlimcnp.k  |-  K  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
Assertion
Ref Expression
xrlimcnp  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    ph, x    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    R( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem xrlimcnp
Dummy variables  k 
r  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlimcnp.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
2 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
31, 2fmptd 5686 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
43adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
5 ssun2 3341 . . . . . . . . . 10  |-  {  +oo } 
C_  ( B  u.  { 
+oo } )
6 pnfxr 10457 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
76elexi 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  _V
87snid 3669 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e.  { 
+oo }
95, 8sselii 3179 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  ( B  u.  {  +oo } )
10 xrlimcnp.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( B  u.  {  +oo }
) )
119, 10syl5eleqr 2372 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  +oo  e.  A )
121ralrimiva 2628 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
13 xrlimcnp.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  +oo  ->  R  =  C )
1413eleq1d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  +oo  ->  ( R  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
1514rspcv 2882 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
1611, 12, 15sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1713, 2fvmptg 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
+oo  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C
)
1811, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C
)
1918ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C )
2019eleq1d 2351 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  <->  C  e.  y ) )
21 cnxmet 18284 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
22 xrlimcnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2322cnfldtopn 18293 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
2423mopni2 18041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  J  /\  C  e.  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
)
2521, 24mp3an1 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  J  /\  C  e.  y )  ->  E. r  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
)
26 ssun1 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  C_  ( B  u.  {  +oo } )
2726, 10syl5sseqr 3229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
28 ssralv 3239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC ) )
2927, 12, 28sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
31 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  r  e.  RR+ )
32 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )
3330, 31, 32rlimi 11989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
34 letop 16938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  (ordTop `  <_  )  e.  Top )
36 xrlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
37 ressxr 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  RR  C_  RR*
3836, 37syl6ss 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  C_  RR* )
396a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  +oo  e.  RR* )
4039snssd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  {  +oo }  C_  RR* )
4138, 40unssd 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {  +oo } )  C_  RR* )
4210, 41eqsstrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
43 xrex 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR*  e.  _V
4443ssex 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A  e.  _V )
4542, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A  e.  _V )
47 iocpnfordt 16947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  )
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( k (,]  +oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )
49 elrestr 13335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  ( k (,] 
+oo )  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
5035, 46, 48, 49syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
51 xrlimcnp.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( (ordTop `  <_  )t  A )
5250, 51syl6eleqr 2376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  e.  K
)
53 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  k  e.  RR )
5453rexrd 8883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  k  e.  RR* )
556a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
56 ltpnf 10465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  +oo )
5753, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  k  <  +oo )
58 ubioc1 10707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  k  <  +oo )  ->  +oo  e.  ( k (,]  +oo ) )
5954, 55, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  ( k (,]  +oo )
)
6011ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  A
)
61 elin 3360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  +oo  e.  ( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  <->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  /\  +oo  e.  A
) )
6259, 60, 61sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  +oo  e.  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )
63 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR )
6463rexrd 8883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR* )
65 elioc1 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  k  < 
x  /\  x  <_  +oo ) ) )
6664, 6, 65sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( k (,]  +oo ) 
<->  ( x  e.  RR*  /\  k  <  x  /\  x  <_  +oo ) ) )
67 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  k  <  x  /\  x  <_  +oo )  ->  k  < 
x )
6866, 67syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  k  <  x
) )
6936ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  B  C_  RR )
7069sselda 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  RR )
71 ltle 8912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  <  x  ->  k  <_  x )
)
7263, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( k  <  x  ->  k  <_  x ) )
7368, 72syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  k  <_  x
) )
7421a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
75 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  ->  r  e.  RR+ )
7675ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  r  e.  RR+ )
77 rpxr 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  r  e.  RR* )
7916ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
8029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
8180r19.21bi 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  R  e.  CC )
82 elbl3 17953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( C  e.  CC  /\  R  e.  CC ) )  -> 
( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( R
( abs  o.  -  ) C )  <  r
) )
8374, 78, 79, 81, 82syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( R ( abs 
o.  -  ) C
)  <  r )
)
84 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
8584cnmetdval 18282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( R  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( R ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( R  -  C
) ) )
8681, 79, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( R
( abs  o.  -  ) C )  =  ( abs `  ( R  -  C ) ) )
8786breq1d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( R ( abs  o.  -  ) C )  <  r  <->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) )
8883, 87bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
8988biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
r  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
9073, 89imim12d 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y ) )  /\  k  e.  RR )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r )  -> 
( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
9190ralimdva 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )  ->  A. x  e.  B  ( x  e.  (
k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
9291impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  B  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
9321a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9416ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  C  e.  CC )
95 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
96 blcntr 17966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
9897a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
99 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  +oo  ->  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  <->  +oo  e.  ( k (,]  +oo )
) )
10013eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  +oo  ->  ( R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
10199, 100imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  +oo  ->  (
( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
1027, 101ralsn 3676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. x  e.  {  +oo } 
( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( k (,]  +oo )  ->  C  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
10398, 102sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  {  +oo }  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
104 ralunb 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  ( B  u.  {  +oo } ) ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  /\  A. x  e.  {  +oo }  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
10592, 103, 104sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  ( B  u.  {  +oo } ) ( x  e.  ( k (,] 
+oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
10610ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A  =  ( B  u.  {  +oo } ) )
107106raleqdv 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( A. x  e.  A  (
x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  A. x  e.  ( B  u.  {  +oo } ) ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
108105, 107mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
109 ss2rab 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { x  e.  A  |  x  e.  ( k (,]  +oo ) }  C_  { x  e.  A  |  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) }  <->  A. x  e.  A  ( x  e.  ( k (,]  +oo )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
110108, 109sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  { x  e.  A  |  x  e.  ( k (,]  +oo ) }  C_  { x  e.  A  |  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) } )
111 incom 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( k (,]  +oo ) )
112 dfin5 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  ( k (,] 
+oo ) )  =  { x  e.  A  |  x  e.  (
k (,]  +oo ) }
113111, 112eqtri 2305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  =  {
x  e.  A  |  x  e.  ( k (,]  +oo ) }
1142mptpreima 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) " ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  { x  e.  A  |  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) }
115110, 113, 1143sstr4g 3221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  C_  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) "
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
116 funmpt 5292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  R )
117 inss2 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  C_  A
1183ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC )
119 fdm 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
121117, 120syl5sseqr 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  C_  dom  ( x  e.  A  |->  R ) )
122 funimass3 5643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  R )  /\  ( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  C_  dom  ( x  e.  A  |->  R ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  C_  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) " ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
123116, 121, 122sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  C_  ( `' ( x  e.  A  |->  R ) " ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
124115, 123mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
125 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
126124, 125sstrd 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )  C_  y )
127 eleq2 2346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  (  +oo  e.  z  <->  +oo  e.  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) )
128 imaeq2 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " z )  =  ( ( x  e.  A  |->  R )
" ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
) ) )
129128sseq1d 3207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y  <->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( ( k (,]  +oo )  i^i  A ) )  C_  y ) )
130127, 129anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A
)  ->  ( (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )  <->  ( 
+oo  e.  ( (
k (,]  +oo )  i^i 
A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
131130rspcev 2886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( k (,] 
+oo )  i^i  A
)  e.  K  /\  (  +oo  e.  ( ( k (,]  +oo )  i^i  A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
( k (,]  +oo )  i^i  A ) ) 
C_  y ) )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) )
13252, 62, 126, 131syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  (
k  e.  RR  /\  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) ) )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
)
133132expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
134133rexlimdva 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y
) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
135134adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  ( E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <_  x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
)  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
13633, 135mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  y )
)  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
)
137136expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
138137rexlimdva 2669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( E. r  e.  RR+  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
13925, 138syl5 28 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( ( y  e.  J  /\  C  e.  y )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
140139expdimp 426 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( C  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) )
14120, 140sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  ( 
+oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
142141ralrimiva 2628 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  ->  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) )
143 letopon 16937 . . . . . . 7  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
144 resttopon 16894 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  A  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  A )  e.  (TopOn `  A
) )
145143, 42, 144sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  <_  )t  A )  e.  (TopOn `  A ) )
14651, 145syl5eqel 2369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  A ) )
14722cnfldtopon 18294 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
148147a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
149 iscnp 16969 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  A )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )  /\  +oo  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  y
) ) ) ) )
150146, 148, 11, 149syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) ) ) )
151150adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo )  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> CC  /\  A. y  e.  J  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  y  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  y )
) ) ) )
1524, 142, 151mpbir2and 888 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )  -> 
( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )
153 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )
15421a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
15516ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
15677adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR* )
15723blopn 18048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
158154, 155, 156, 157syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J )
15918ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  =  C
)
160 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR+ )
161154, 155, 160, 96syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  C  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
162159, 161eqeltrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
163 cnpimaex 16988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo )  /\  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  +oo )  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
164153, 158, 162, 163syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
165 vex 2793 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
166165inex1 4157 . . . . . . . 8  |-  ( w  i^i  A )  e. 
_V
167166a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  w  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  _V )
16851eleq2i 2349 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  K  <->  z  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
16945ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A  e.  _V )
170 elrest 13334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A )  <->  E. w  e.  (ordTop `  <_  ) z  =  ( w  i^i 
A ) ) )
17134, 169, 170sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( z  e.  ( (ordTop `  <_  )t  A )  <->  E. w  e.  (ordTop ` 
<_  ) z  =  ( w  i^i  A ) ) )
172168, 171syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( z  e.  K  <->  E. w  e.  (ordTop `  <_  ) z  =  ( w  i^i  A ) ) )
173 eleq2 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (  +oo  e.  z  <->  +oo  e.  ( w  i^i  A ) ) )
174 imaeq2 5010 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) )
175174sseq1d 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
176173, 175anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( w  i^i 
A )  ->  (
(  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) "
z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  /\  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
177176adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J
) `  +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  =  ( w  i^i  A ) )  ->  ( (  +oo  e.  z  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " z
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  /\  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
178167, 172, 177rexxfr2d 4553 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. z  e.  K  (  +oo  e.  z  /\  ( ( x  e.  A  |->  R )
" z )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  (ordTop `  <_  ) ( 
+oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
179164, 178mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  (ordTop ` 
<_  ) (  +oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  ( ( x  e.  A  |->  R )
" ( w  i^i 
A ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
180 inss1 3391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  i^i  A )  C_  w
181180sseli 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  ->  +oo  e.  w
)
182 pnfnei 16952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  w )  ->  E. k  e.  RR  ( k (,] 
+oo )  C_  w
)
183181, 182sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  ( w  i^i  A ) )  ->  E. k  e.  RR  ( k (,] 
+oo )  C_  w
)
184 df-ima 4704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) )  =  ran  ( ( x  e.  A  |->  R )  |`  ( w  i^i  A ) )
185 inss2 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  i^i  A )  C_  A
186 resmpt 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  R )  |`  (
w  i^i  A )
)  =  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) )
187185, 186ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  R )  |`  ( w  i^i  A ) )  =  ( x  e.  ( w  i^i  A ) 
|->  R )
188187rneqi 4907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
( x  e.  A  |->  R )  |`  (
w  i^i  A )
)  =  ran  (
x  e.  ( w  i^i  A )  |->  R )
189184, 188eqtri 2305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) )  =  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R )
190189sseq1i 3204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ran  ( x  e.  ( w  i^i  A
)  |->  R )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
191 dfss3 3172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( x  e.  ( w  i^i  A ) 
|->  R )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i  A
)  |->  R ) z  e.  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
192190, 191bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  (
w  i^i  A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
19312adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  A  R  e.  CC )
194 ssralv 3239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  i^i  A ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  R  e.  CC  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  CC ) )
195185, 193, 194mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  CC )
196 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R )  =  ( x  e.  ( w  i^i  A
)  |->  R )
197 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  R  ->  (
z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
198196, 197ralrnmpt 5671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  CC  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
199195, 198syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
200199biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  |->  R ) z  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
201192, 200syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
202 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( k (,]  +oo )  C_  w )
20338ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  B  C_  RR* )
204 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  B )
205203, 204sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  RR* )
206 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
k  <  x )
207 pnfge 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  +oo )
208205, 207syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  <_  +oo )
209 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
k  e.  RR )
210209rexrd 8883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
k  e.  RR* )
211210, 6, 65sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( x  e.  ( k (,]  +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  k  <  x  /\  x  <_  +oo ) ) )
212205, 206, 208, 211mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  ( k (,]  +oo ) )
213202, 212sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  w )
21427ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  B  C_  A
)
215214sselda 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  A )
216215adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  A )
217 elin 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( w  i^i 
A )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  A ) )
218213, 216, 217sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  x  e.  ( w  i^i  A ) )
219218ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  B  /\  k  <  x )  ->  x  e.  ( w  i^i  A
) ) )
220219imim1d 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  ( w  i^i 
A )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  k  <  x )  ->  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
22121a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
22277adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR* )
223222ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
r  e.  RR* )
22416ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  C  e.  CC )
22529ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  A. x  e.  B  R  e.  CC )
226225r19.21bi 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  x  e.  B
)  ->  R  e.  CC )
227226adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  ->  R  e.  CC )
228221, 223, 224, 227, 82syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( R
( abs  o.  -  ) C )  <  r
) )
229227, 224, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( R ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( R  -  C
) ) )
230229breq1d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( ( R ( abs  o.  -  ) C )  <  r  <->  ( abs `  ( R  -  C ) )  <  r ) )
231228, 230bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  ( x  e.  B  /\  k  < 
x ) )  -> 
( R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) )
232231pm5.74da 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( ( x  e.  B  /\  k  <  x )  ->  R  e.  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  k  <  x )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
233220, 232sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  ( w  i^i 
A )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  k  <  x )  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
234233exp4a 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( ( x  e.  ( w  i^i 
A )  ->  R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C ) )  < 
r ) ) ) )
235234ralimdv2 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  ( A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
236235imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A
) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
237236an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  (
k  e.  RR  /\  ( k (,]  +oo )  C_  w ) )  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
238237expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  k  e.  RR )  ->  (
( k (,]  +oo )  C_  w  ->  A. x  e.  B  ( k  <  x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
239238reximdva 2657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( E. k  e.  RR  (
k (,]  +oo )  C_  w  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
240239ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  ( w  i^i  A ) R  e.  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( E. k  e.  RR  ( k (,] 
+oo )  C_  w  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) ) )
241201, 240syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( E. k  e.  RR  (
k (,]  +oo )  C_  w  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) ) )
242241com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  RR  (
k (,]  +oo )  C_  w  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) ) )
243183, 242syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
w  e.  (ordTop `  <_  )  /\  +oo  e.  ( w  i^i  A ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) ) )
244243impl 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  w  e.  (ordTop `  <_  ) )  /\  +oo  e.  ( w  i^i  A ) )  ->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
245244expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  w  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( (  +oo  e.  ( w  i^i  A
)  /\  ( (
x  e.  A  |->  R ) " ( w  i^i  A ) ) 
C_  ( C (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
246245rexlimdva 2669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  (ordTop `  <_  ) (  +oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  ( ( x  e.  A  |->  R )
" ( w  i^i 
A ) )  C_  ( C ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
) )
247246adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. w  e.  (ordTop `  <_  ) ( 
+oo  e.  ( w  i^i  A )  /\  (
( x  e.  A  |->  R ) " (
w  i^i  A )
)  C_  ( C
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
248179, 247mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  <  x  -> 
( abs `  ( R  -  C )
)  <  r )
)
249248ralrimiva 2628 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) )
25029, 36, 16rlim2lt 11973 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
251250adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo ) )  ->  (
( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  RR  A. x  e.  B  ( k  < 
x  ->  ( abs `  ( R  -  C
) )  <  r
) ) )
252249, 251mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `  +oo ) )  ->  (
x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C )
253152, 252impbida 805 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  R )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  R )  e.  ( ( K  CnP  J ) `
 +oo ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549   _Vcvv 2790    u. cun 3152    i^i cin 3153    C_ wss 3154   {csn 3642   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   `'ccnv 4690   dom cdm 4691   ran crn 4692    |` cres 4693   "cima 4694    o. ccom 4695   Fun wfun 5251   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738    +oocpnf 8866   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039   RR+crp 10356   (,]cioc 10659   abscabs 11721    ~~> r crli 11961   ↾t crest 13327   TopOpenctopn 13328  ordTopcordt 13400   * Metcxmt 16371   ballcbl 16373  ℂfldccnfld 16379   Topctop 16633  TopOnctopon 16634    CnP ccnp 16957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-rlim 11965  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-ordt 13404  df-ps 14308  df-tsr 14309  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cnp 16960  df-xms 17887  df-ms 17888
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