MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltle Structured version   Unicode version

Theorem xrltle 10773
Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltle  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem xrltle
StepHypRef Expression
1 orc 376 . 2  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
2 xrleloe 10768 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
31, 2syl5ibr 214 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   class class class wbr 4237   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152
This theorem is referenced by:  xrletri  10775  xrletr  10779  qextltlem  10819  xmulge0  10894  supxrunb1  10929  ico0  10993  ioc0  10994  ioossicc  11027  snunioo  11054  snunico  11055  ioopnfsup  11276  icopnfsup  11277  hashnnn0genn0  11658  pcadd2  13290  leordtval2  17307  lecldbas  17314  xblss2ps  18462  xblss2  18463  blhalf  18466  blssps  18485  blss  18486  blcls  18567  stdbdxmet  18576  stdbdmopn  18579  metcnpi3  18607  blcvx  18860  tgqioo  18862  xrsmopn  18874  metdcnlem  18898  metnrmlem1a  18919  bndth  19014  ovolgelb  19407  icombl  19489  ioorcl2  19495  ioorf  19496  ioorinv2  19498  volivth  19530  itg2seq  19663  itg2mulclem  19667  itg2mulc  19668  itg2monolem2  19672  itg2cnlem2  19683  dvferm1lem  19899  dvferm2lem  19901  dvferm  19903  dvivthlem1  19923  lhop2  19930  radcnvle  20367  psercnlem2  20371  tanord1  20470  dvloglem  20570  icossicc  24160  iocssicc  24161  ioossico  24162  snunioc  24168  iocinif  24175  difioo  24176  esumpinfsum  24498  tan2h  26276  heicant  26277  itg2addnclem  26294  ftc1anclem7  26324  elicc3  26358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157
  Copyright terms: Public domain W3C validator