MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltle Unicode version

Theorem xrltle 10731
Description: 'Less than' implies 'less than or equal' for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltle  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem xrltle
StepHypRef Expression
1 orc 375 . 2  |-  ( A  <  B  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
2 xrleloe 10726 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
31, 2syl5ibr 213 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110
This theorem is referenced by:  xrletri  10733  xrletr  10737  qextltlem  10777  xmulge0  10852  supxrunb1  10887  ico0  10951  ioc0  10952  ioossicc  10985  snunioo  11012  snunico  11013  ioopnfsup  11233  icopnfsup  11234  hashnnn0genn0  11615  pcadd2  13247  leordtval2  17264  lecldbas  17271  xblss2ps  18419  xblss2  18420  blhalf  18423  blssps  18442  blss  18443  blcls  18524  stdbdxmet  18533  stdbdmopn  18536  metcnpi3  18564  blcvx  18817  tgqioo  18819  xrsmopn  18831  metdcnlem  18855  metnrmlem1a  18876  bndth  18971  ovolgelb  19364  icombl  19446  ioorcl2  19452  ioorf  19453  ioorinv2  19455  volivth  19487  itg2seq  19622  itg2mulclem  19626  itg2mulc  19627  itg2monolem2  19631  itg2cnlem2  19642  dvferm1lem  19856  dvferm2lem  19858  dvferm  19860  dvivthlem1  19880  lhop2  19887  radcnvle  20324  psercnlem2  20328  tanord1  20427  dvloglem  20527  icossicc  24117  iocssicc  24118  ioossico  24119  snunioc  24125  iocinif  24132  difioo  24133  esumpinfsum  24455  itg2addnclem  26202  elicc3  26257
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115
  Copyright terms: Public domain W3C validator