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Theorem xrofsup 24131
 Description: The supremum is preserved by extended addition set operation. (provided minus infinity is not involved as it does not behave well with addition) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrofsup.1
xrofsup.2
xrofsup.3
xrofsup.4
xrofsup.5
Assertion
Ref Expression
xrofsup

Proof of Theorem xrofsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrofsup.5 . . 3
2 xrofsup.1 . . . . . . . . . 10
32sseld 3349 . . . . . . . . 9
4 xrofsup.2 . . . . . . . . . 10
54sseld 3349 . . . . . . . . 9
63, 5anim12d 548 . . . . . . . 8
76imp 420 . . . . . . 7
8 xaddcl 10828 . . . . . . 7
97, 8syl 16 . . . . . 6
109ralrimivva 2800 . . . . 5
11 fveq2 5731 . . . . . . . 8
12 df-ov 6087 . . . . . . . 8
1311, 12syl6eqr 2488 . . . . . . 7
1413eleq1d 2504 . . . . . 6
1514ralxp 5019 . . . . 5
1610, 15sylibr 205 . . . 4
17 xaddf 10815 . . . . . 6
18 ffun 5596 . . . . . 6
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5
20 xpss12 4984 . . . . . . 7
212, 4, 20syl2anc 644 . . . . . 6
2217fdmi 5599 . . . . . 6
2321, 22syl6sseqr 3397 . . . . 5
24 funimass4 5780 . . . . 5
2519, 23, 24sylancr 646 . . . 4
2616, 25mpbird 225 . . 3
271, 26eqsstrd 3384 . 2
28 supxrcl 10898 . . . 4
292, 28syl 16 . . 3
30 supxrcl 10898 . . . 4
314, 30syl 16 . . 3
331eleq2d 2505 . . . . 5
3433pm5.32i 620 . . . 4
35 nfvd 1631 . . . . 5
36 nfvd 1631 . . . . 5
372ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
38 simprl 734 . . . . . . . . . . 11
39 supxrub 10908 . . . . . . . . . . 11
4037, 38, 39syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
414ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
42 simprr 735 . . . . . . . . . . 11
43 supxrub 10908 . . . . . . . . . . 11
4441, 42, 43syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
4537, 38sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11
4641, 42sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11
4737, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11
4841, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11
49 xle2add 10843 . . . . . . . . . . 11
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10
5140, 44, 50mp2and 662 . . . . . . . . 9
5251ralrimivva 2800 . . . . . . . 8
53 fvelima 5781 . . . . . . . . . . 11
5419, 53mpan 653 . . . . . . . . . 10
5554adantl 454 . . . . . . . . 9
5613eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10
5756rexxp 5020 . . . . . . . . 9
5855, 57sylib 190 . . . . . . . 8
5952, 58r19.29d2r 2853 . . . . . . 7
60 ancom 439 . . . . . . . 8
61602rexbii 2734 . . . . . . 7
6259, 61sylib 190 . . . . . 6
63 breq1 4218 . . . . . . . . 9
6463biimpa 472 . . . . . . . 8
6564reximi 2815 . . . . . . 7
6665reximi 2815 . . . . . 6
6762, 66syl 16 . . . . 5
6835, 36, 6719.9d2r 23974 . . . 4
6934, 68sylbi 189 . . 3
7069ralrimiva 2791 . 2
712ad2antrr 708 . . . . . 6
724ad2antrr 708 . . . . . 6
73 simplr 733 . . . . . . 7
7429ad2antrr 708 . . . . . . 7
7531ad2antrr 708 . . . . . . 7
76 xrofsup.3 . . . . . . . 8
7776ad2antrr 708 . . . . . . 7
78 xrofsup.4 . . . . . . . 8
7978ad2antrr 708 . . . . . . 7
80 simpr 449 . . . . . . 7
8173, 74, 75, 77, 79, 80xlt2addrd 24129 . . . . . 6
82 nfv 1630 . . . . . . . 8
83 nfcv 2574 . . . . . . . . 9
84 nfre1 2764 . . . . . . . . 9
8583, 84nfrex 2763 . . . . . . . 8
8682, 85nfan 1847 . . . . . . 7
87 nfvd 1631 . . . . . . 7
88 nfvd 1631 . . . . . . 7
89 id 21 . . . . . . . . . . . 12
9089ralrimivw 2792 . . . . . . . . . . 11
9190ralrimivw 2792 . . . . . . . . . 10
9291adantr 453 . . . . . . . . 9
93 simpr 449 . . . . . . . . 9
9492, 93r19.29d2r 2853 . . . . . . . 8
95 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 simplr2 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 supxrlub 10909 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
10095, 96, 97, 99syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
101 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
102 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15
103 simplr3 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 supxrlub 10909 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105104biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
106101, 102, 103, 105syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
107 reeanv 2877 . . . . . . . . . . . . . 14
108100, 106, 107sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . 13
109108ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12
110 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1111103anassrs 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1151143anassrs 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116115simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118116, 117sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119115simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121119, 120sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122113, 118, 121jca32 523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124122, 123jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125 xlt2add 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126125imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128127biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129126, 128sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130112, 124, 129syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
131130ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14
132131reximdva 2820 . . . . . . . . . . . . 13
133132reximdva 2820 . . . . . . . . . . . 12
134109, 133mpd 15 . . . . . . . . . . 11
135134ex 425 . . . . . . . . . 10
136135reximdva 2820 . . . . . . . . 9
137136reximia 2813 . . . . . . . 8
13894, 137syl 16 . . . . . . 7
13986, 87, 88, 13819.9d2rf 23973 . . . . . 6
14071, 72, 81, 139syl21anc 1184 . . . . 5
141 simprl 734 . . . . . . . . . 10
142 simprr 735 . . . . . . . . . 10
14323adantr 453 . . . . . . . . . 10
144141, 142, 19, 143elovimad 24056 . . . . . . . . 9
1451eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10
146145adantr 453 . . . . . . . . 9
147144, 146mpbird 225 . . . . . . . 8
148 simpr 449 . . . . . . . . 9
149148breq2d 4227 . . . . . . . 8
150147, 149rspcedv 3058 . . . . . . 7
151150rexlimdvva 2839 . . . . . 6
152151ad2antrr 708 . . . . 5
153140, 152mpd 15 . . . 4
154153ex 425 . . 3
155154ralrimiva 2791 . 2
156 supxr2 10897 . 2
15727, 32, 70, 155, 156syl22anc 1186 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   wss 3322  cop 3819   class class class wbr 4215   cxp 4879   cdm 4881  cima 4884   wfun 5451  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  csup 7448  cr 8994   cmnf 9123  cxr 9124   clt 9125   cle 9126  cxad 10713 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-2 10063  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716
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