MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmopn Structured version   Unicode version

Theorem xrsmopn 18845
Description: The metric on the extended reals generates a topology, but this does not match the order topology on  RR*; for example  {  +oo } is open in the metric topology, but not the order topology. However, the metric topology is finer than the order topology, meaning that all open intervals are open in the metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsxmet.1  |-  D  =  ( dist `  RR* s
)
xrsmopn.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
xrsmopn  |-  (ordTop `  <_  )  C_  J

Proof of Theorem xrsmopn
Dummy variables  x  r  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4045 . . . 4  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  x  C_  U. (ordTop ` 
<_  ) )
2 letopuni 17273 . . . 4  |-  RR*  =  U. (ordTop `  <_  )
31, 2syl6sseqr 3397 . . 3  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  x  C_  RR* )
4 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
54rexmet 18824 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR ) )
7 letop 17272 . . . . . . . . 9  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
8 reex 9083 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
9 elrestr 13658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  _V  /\  x  e.  (ordTop `  <_  ) )  -> 
( x  i^i  RR )  e.  ( (ordTop ` 
<_  )t  RR ) )
107, 8, 9mp3an12 1270 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  ( x  i^i 
RR )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
1110ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  i^i  RR )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
12 elin 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
RR )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  RR ) )
1312biimpri 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  ( x  i^i  RR ) )
1413adantll 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  ( x  i^i  RR ) )
15 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
1615xrtgioo 18839 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
17 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
184, 17tgioo 18829 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
1916, 18eqtr3i 2460 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
2019mopni2 18525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )  /\  (
x  i^i  RR )  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  /\  y  e.  ( x  i^i  RR ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR ) )
216, 11, 14, 20syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR ) )
22 xrsxmet.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( dist `  RR* s
)
2322xrsxmet 18842 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  ( * Met `  RR* )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  RR* )
)
25 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR )
26 ressxr 9131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
27 dfss1 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR  C_  RR*  <->  ( RR*  i^i  RR )  =  RR )
2826, 27mpbi 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR*  i^i 
RR )  =  RR
2925, 28syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  (
RR*  i^i  RR )
)
30 rpxr 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR* )
3222xrsdsre 18843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
3332eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( D  |`  ( RR  X.  RR ) )
3433blres 18463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  RR* )  /\  y  e.  ( RR*  i^i  RR )  /\  r  e.  RR* )  -> 
( y ( ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( y (
ball `  D )
r )  i^i  RR ) )
3524, 29, 31, 34syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  =  ( ( y ( ball `  D
) r )  i^i 
RR ) )
3622xrsblre 18844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR* )  -> 
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  RR )
3730, 36sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  RR )
3837adantll 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( y (
ball `  D )
r )  C_  RR )
39 df-ss 3336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  RR 
<->  ( ( y (
ball `  D )
r )  i^i  RR )  =  ( y
( ball `  D )
r ) )
4038, 39sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  D
) r )  i^i 
RR )  =  ( y ( ball `  D
) r ) )
4135, 40eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( y (
ball `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  =  ( y ( ball `  D
) r ) )
4241sseq1d 3377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR )  <->  ( y
( ball `  D )
r )  C_  (
x  i^i  RR )
) )
43 inss1 3563 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  RR )  C_  x
44 sstr 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  ( x  i^i 
RR )  /\  (
x  i^i  RR )  C_  x )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x )
4543, 44mpan2 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( ball `  D
) r )  C_  ( x  i^i  RR )  ->  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
)
4642, 45syl6bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x ) )
4746reximdva 2820 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) r )  C_  ( x  i^i  RR )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) )
4821, 47mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  y  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
)
49 1rp 10618 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
5023a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  D  e.  ( * Met `  RR* )
)
513sselda 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  RR* )
5251adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR* )
53 rpxr 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
5449, 53mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  1  e.  RR* )
55 elbl 18420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  RR* )  /\  y  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  D
) 1 )  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  D
) 1 )  <->  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) ) )
57 simp2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  -.  y  e.  RR )
5823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  D  e.  ( * Met `  RR* )
)
59513ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  y  e.  RR* )
6059adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  y  e.  RR* )
61 simpl3l 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  z  e.  RR* )
62 xmetcl 18363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  RR* )  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
y D z )  e.  RR* )
6358, 60, 61, 62syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y D z )  e.  RR* )
64 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  1  e.  RR )
66 xmetge0 18376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  RR* )  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  0  <_  ( y D z ) )
6758, 60, 61, 66syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  0  <_  ( y D z ) )
68 simpl3r 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y D z )  <  1 )
6949, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR*
70 xrltle 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y D z )  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( y D z )  <  1  -> 
( y D z )  <_  1 ) )
7163, 69, 70sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
( y D z )  <  1  -> 
( y D z )  <_  1 ) )
7268, 71mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y D z )  <_  1 )
73 xrrege0 10764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y D z )  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( y D z )  /\  ( y D z )  <_ 
1 ) )  -> 
( y D z )  e.  RR )
7463, 65, 67, 72, 73syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y D z )  e.  RR )
75 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  y  =/=  z )
7622xrsdsreclb 16747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR*  /\  y  =/=  z )  ->  (
( y D z )  e.  RR  <->  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) ) )
7760, 61, 75, 76syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
( y D z )  e.  RR  <->  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) ) )
7874, 77mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)
7978simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  ( y D z )  <  1 ) )  /\  y  =/=  z )  ->  y  e.  RR )
8079ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  ( y  =/=  z  ->  y  e.  RR ) )
8180necon1bd 2674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  ( -.  y  e.  RR  ->  y  =  z ) )
82 simp1r 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  y  e.  x
)
83 elequ1 1729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  z  e.  x ) )
8482, 83syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  ( y  =  z  ->  z  e.  x ) )
8581, 84syld 43 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  ( -.  y  e.  RR  ->  z  e.  x ) )
8657, 85mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR  /\  (
z  e.  RR*  /\  (
y D z )  <  1 ) )  ->  z  e.  x
)
87863expia 1156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  ( ( z  e. 
RR*  /\  ( y D z )  <  1 )  ->  z  e.  x ) )
8856, 87sylbid 208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( y ( ball `  D
) 1 )  -> 
z  e.  x ) )
8988ssrdv 3356 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  ( y ( ball `  D ) 1 ) 
C_  x )
90 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  1  ->  (
y ( ball `  D
) r )  =  ( y ( ball `  D ) 1 ) )
9190sseq1d 3377 . . . . . . 7  |-  ( r  =  1  ->  (
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x  <->  ( y
( ball `  D )
1 )  C_  x
) )
9291rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  D
) 1 )  C_  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
)
9349, 89, 92sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  /\  -.  y  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  x )
9448, 93pm2.61dan 768 . . . 4  |-  ( ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
)
9594ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) r )  C_  x )
96 xrsmopn.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
9796elmopn2 18477 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
RR* )  ->  (
x  e.  J  <->  ( x  C_ 
RR*  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) ) )
9823, 97ax-mp 8 . . 3  |-  ( x  e.  J  <->  ( x  C_ 
RR*  /\  A. y  e.  x  E. r  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
r )  C_  x
) )
993, 95, 98sylanbrc 647 . 2  |-  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  ->  x  e.  J
)
10099ssriv 3354 1  |-  (ordTop `  <_  )  C_  J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   ran crn 4881    |` cres 4882    o. ccom 4884   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   abscabs 12041   distcds 13540   ↾t crest 13650   topGenctg 13667  ordTopcordt 13723   RR* scxrs 13724   * Metcxmt 16688   ballcbl 16690   MetOpencmopn 16693   Topctop 16960
This theorem is referenced by:  xmetdcn  18871
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-ordt 13727  df-xrs 13728  df-ps 14631  df-tsr 14632  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968
  Copyright terms: Public domain W3C validator