MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsupsslem Structured version   Unicode version

Theorem xrsupsslem 10890
Description: Lemma for xrsupss 10892. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrsupsslem  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/  +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem xrsupsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 2906 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y ) )
2 rexeq 2907 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
32imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
43ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )
51, 4anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) ) )
65rexbidv 2728 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) ) )
7 sup3 9970 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8 rexr 9135 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
98anim1i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( x  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
109reximi2 2814 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
117, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
12 elxr 10721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = 
+oo  \/  y  =  -oo ) )
13 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
14 pnfnlt 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  x )
1514adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  =  +oo )  ->  -.  +oo 
<  x )
16 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  +oo  ->  (
y  <  x  <->  +oo  <  x
) )
1716notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  +oo  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  +oo  <  x ) )
1817adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  =  +oo )  ->  ( -.  y  <  x  <->  -.  +oo  <  x ) )
1915, 18mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  =  +oo )  ->  -.  y  <  x )
2019pm2.21d 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  =  +oo )  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
2120ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  =  +oo  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2221ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  =  +oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
23 ssel 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
24 mnflt 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  RR  ->  -oo  <  z )
2523, 24syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  -oo  <  z ) )
2625ancld 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  A  /\  -oo 
<  z ) ) )
2726eximdv 1633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. z ( z  e.  A  /\  -oo  <  z ) ) )
28 n0 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
29 df-rex 2713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. z  e.  A  -oo  <  z  <->  E. z ( z  e.  A  /\  -oo  <  z ) )
3027, 28, 293imtr4g 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  -oo  <  z
) )
3130imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  -oo  <  z
)
3231a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  (  -oo  <  x  ->  E. z  e.  A  -oo  <  z
) )
3332ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  =  -oo )  -> 
(  -oo  <  x  ->  E. z  e.  A  -oo  <  z ) )
34 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  -oo  ->  (
y  <  x  <->  -oo  <  x
) )
35 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  -oo  ->  (
y  <  z  <->  -oo  <  z
) )
3635rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  -oo  ->  ( E. z  e.  A  y  <  z  <->  E. z  e.  A  -oo  <  z
) )
3734, 36imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  -oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  (  -oo  <  x  ->  E. z  e.  A  -oo  <  z
) ) )
3837adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  =  -oo )  -> 
( ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  (  -oo  <  x  ->  E. z  e.  A  -oo  <  z ) ) )
3933, 38mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  =  -oo )  -> 
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
4039ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( y  =  -oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  =  -oo  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4213, 22, 413jaod 1249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( (
y  e.  RR  \/  y  =  +oo  \/  y  =  -oo )  ->  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4312, 42syl5bi 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4443ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  (
y  e.  RR*  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4544ralimdv2 2788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
4645anim2d 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4746reximdva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
48473adant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
4911, 48mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
50493expa 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
51 ralnex 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
52 rexnal 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )
53 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
54 letric 9179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
5554ord 368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y
) )
5653, 55sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y ) )
5756an32s 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  y  <_  x  ->  x  <_  y ) )
5857reximdva 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
5952, 58syl5bir 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6059ralimdva 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
6160imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )
6251, 61sylan2br 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
)
63 breq2 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  z ) )
6463cbvrexv 2935 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. z  e.  A  x  <_  z )
6564ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )
6662, 65sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z
)
67 pnfxr 10718 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
68 ssel 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
69 rexr 9135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
70 pnfnlt 10730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  y )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  +oo 
<  y )
7268, 71syl6 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  -.  +oo 
<  y ) )
7372ralrimiv 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  A. y  e.  A  -.  +oo  <  y )
7473adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  A. y  e.  A  -.  +oo  <  y )
75 peano2re 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
76 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  z  <->  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
7776rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( E. z  e.  A  x  <_  z  <->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z ) )
7877rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z )
7978adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR ) )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
8079ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
8175, 80sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z )
82 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
83 ltp1 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
8483adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
8575ancli 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR ) )
86 ltletr 9171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
87863expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  <  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <_  z )  -> 
y  <  z )
)
8885, 87sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <_ 
z )  ->  y  <  z ) )
8984, 88mpand 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9089ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9182, 90sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_ 
z  ->  y  <  z ) )
9291an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
y  +  1 )  <_  z  ->  y  <  z ) )
9392reximdva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_  z  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
9493adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  A  ( y  +  1 )  <_ 
z  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
9581, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
9695exp31 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
9796a1dd 45 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  <  +oo  ->  ( y  e.  RR  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
9897com4r 83 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
99 xrltnr 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  +oo )
10067, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  +oo  <  +oo
101 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  +oo  ->  (
y  <  +oo  <->  +oo  <  +oo ) )
102100, 101mtbiri 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  +oo  ->  -.  y  <  +oo )
103102pm2.21d 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  +oo  ->  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
104103a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  +oo  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
105104a1d 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  +oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
106 0re 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
107 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  z  <->  0  <_  z ) )
108107rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  ( E. z  e.  A  x  <_  z  <->  E. z  e.  A  0  <_  z ) )
109108rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. z  e.  A  0  <_  z )
110106, 109mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  E. z  e.  A 
0  <_  z )
11182, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  z )
112111a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  RR  /\  z  e.  A )  ->  (
0  <_  z  ->  -oo 
<  z ) )
113112reximdva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. z  e.  A  0  <_  z  ->  E. z  e.  A  -oo  <  z
) )
114110, 113mpan9 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  -oo  <  z
)
115114, 36syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  -oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
116115a1dd 45 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  -oo  ->  (
( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  /\  A  C_  RR )  ->  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
117116exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  -oo  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
11898, 105, 1173jaoi 1248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  \/  y  =  +oo  \/  y  =  -oo )  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
11912, 118sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( A  C_  RR  ->  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
120119com13 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z  ->  ( y  e. 
RR*  ->  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
121120imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  ( y  e.  RR*  ->  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
122121ralrimiv 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  A. y  e.  RR*  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
12374, 122jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  ( A. y  e.  A  -.  +oo 
<  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
124 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  +oo  ->  (
x  <  y  <->  +oo  <  y
) )
125124notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  +oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  +oo  <  y ) )
126125ralbidv 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  +oo  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  +oo  <  y ) )
127 breq2 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  +oo  ->  (
y  <  x  <->  y  <  +oo ) )
128127imbi1d 310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  +oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
129128ralbidv 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  +oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
130126, 129anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  +oo  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  +oo 
<  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
131130rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -.  +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13267, 123, 131sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  RR  E. z  e.  A  x  <_  z )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13366, 132syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
134133adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
13550, 134pm2.61dan 768 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
136 mnfxr 10719 . . . . . 6  |-  -oo  e.  RR*
137 ral0 3734 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  -.  -oo  <  y
138 nltmnf 10731 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  <  -oo )
139138pm2.21d 101 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y  <  -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
140139rgen 2773 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  RR*  ( y  <  -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z )
141137, 140pm3.2i 443 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  (/)  -.  -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) )
142 breq1 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -oo  ->  (
x  <  y  <->  -oo  <  y
) )
143142notbid 287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -oo  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  -oo  <  y ) )
144143ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -oo  ->  ( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  (/)  -. 
-oo  <  y ) )
145 breq2 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -oo  ->  (
y  <  x  <->  y  <  -oo ) )
146145imbi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -oo  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z )  <->  ( y  <  -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
147146ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -oo  ->  ( A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  < 
z )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  <  -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )
148144, 147anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -oo  ->  (
( A. y  e.  (/)  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  (/)  -.  -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) ) )
149148rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  ( A. y  e.  (/)  -.  -oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  -oo  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
150136, 141, 149mp2an 655 . . . . 5  |-  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) )
151150a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  (/)  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  (/)  y  <  z
) ) )
1526, 135, 151pm2.61ne 2681 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
153152adantl 454 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A  C_  RR )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
154 ssel 3344 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
155154, 70syl6 32 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -.  +oo  <  y ) )
156155ralrimiv 2790 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -.  +oo  <  y )
157 breq2 4219 . . . . . . 7  |-  ( z  =  +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  <  +oo ) )
158157rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( 
+oo  e.  A  /\  y  <  +oo )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
159158ex 425 . . . . 5  |-  (  +oo  e.  A  ->  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
160159ralrimivw 2792 . . . 4  |-  (  +oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR*  ( y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
161156, 160anim12i 551 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -.  +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
16267, 161, 131sylancr 646 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  +oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
163153, 162jaodan 762 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A  C_  RR  \/  +oo  e.  A ) )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    \/ w3o 936    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126
This theorem is referenced by:  xrsupss  10892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299
  Copyright terms: Public domain W3C validator