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Theorem xrsxmet 18317
Description: The metric on the extended reals is a proper extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1  |-  D  =  ( dist `  RR* s
)
Assertion
Ref Expression
xrsxmet  |-  D  e.  ( * Met `  RR* )

Proof of Theorem xrsxmet
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 10353 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
21a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  RR*  e.  _V )
3 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  e. 
RR* )
4 xnegcl 10542 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  - e
x  e.  RR* )
5 xaddcl 10566 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  - e
x  e.  RR* )  ->  ( y + e  - e x )  e. 
RR* )
63, 4, 5syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y + e  - e x )  e. 
RR* )
7 xnegcl 10542 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  - e
y  e.  RR* )
8 xaddcl 10566 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  - e
y  e.  RR* )  ->  ( x + e  - e y )  e. 
RR* )
97, 8sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x + e  - e y )  e. 
RR* )
10 ifcl 3603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y + e  - e x )  e. 
RR*  /\  ( x + e  - e y )  e.  RR* )  ->  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  e.  RR* )
116, 9, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  e.  RR* )
1211rgen2a 2611 . . . . 5  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  e.  RR*
13 xrsxmet.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  RR* s
)
1413xrsds 16416 . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) )
1514fmpt2 6193 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  e.  RR*  <->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
1612, 15mpbi 199 . . . 4  |-  D :
( RR*  X.  RR* ) --> RR*
1716a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
18 breq2 4029 . . . . . 6  |-  ( ( y + e  - e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( y + e  - e x )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) ) ) )
19 breq2 4029 . . . . . 6  |-  ( ( x + e  - e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( x + e  - e y )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) ) ) )
20 xsubge0 10583 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y + e  - e x )  <->  x  <_  y ) )
2120ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y + e  - e x )  <->  x  <_  y ) )
2221biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  <_  y )  ->  0  <_  (
y + e  - e x ) )
23 xrletri 10487 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
2423orcanai 879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  y  <_  x )
25 xsubge0 10583 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( x + e  - e y )  <->  y  <_  x
) )
2625biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  y  <_  x )  ->  0  <_  (
x + e  - e y ) )
2724, 26syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  0  <_  ( x + e  - e y ) )
2818, 19, 22, 27ifbothda 3597 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) ) )
2913xrsdsval 16417 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) )
3028, 29breqtrrd 4051 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  ( x D y ) )
3130adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
0  <_  ( x D y ) )
3230biantrud 493 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  ( (
x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3329, 11eqeltrd 2359 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  e.  RR* )
34 0xr 8880 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
35 xrletri3 10488 . . . . . 6  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3633, 34, 35sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
37 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =  y )  ->  x  =  y )
38 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  =  0 )
39 0re 8840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
4038, 39syl6eqel 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  e.  RR )
4113xrsdsreclb 16420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
42413expa 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( (
x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4342adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4440, 43mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
4544simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  RR )
4645recnd 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  CC )
4744simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  RR )
4847recnd 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  CC )
49 rexsub 10562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x + e  - e y )  =  ( x  -  y
) )
5044, 49syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x + e  - e y )  =  ( x  -  y
) )
5129eqeq1d 2293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 ) )
5251biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 )
54 xneg11 10544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y + e  - e x )  e. 
RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (  - e
( y + e  - e x )  = 
- e 0  <->  (
y + e  - e x )  =  0 ) )
556, 34, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  - e ( y + e  - e x )  =  - e
0  <->  ( y + e  - e x )  =  0 ) )
56 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
x  e.  RR* )
58 xnegdi 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  - e
x  e.  RR* )  -> 
- e ( y + e  - e
x )  =  ( 
- e y + e  - e  - e x ) )
5956, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
( y + e  - e x )  =  (  - e y + e  - e  - e x ) )
60 xnegneg 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  - e  - e x  =  x )
6160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e  - e x  =  x )
6261oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  - e y + e  - e  - e x )  =  (  - e y + e
x ) )
637adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
y  e.  RR* )
64 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
65 xaddcom 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
- e y  e. 
RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (  - e
y + e x )  =  ( x + e  - e
y ) )
6663, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  - e y + e
x )  =  ( x + e  - e y ) )
6759, 62, 663eqtrd 2321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
( y + e  - e x )  =  ( x + e  - e y ) )
68 xneg0 10541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  - e
0  =  0
6968a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
0  =  0 )
7067, 69eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  - e ( y + e  - e x )  =  - e
0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
7155, 70bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( y + e  - e x )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
7271ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( y + e  - e x )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
73 biidd 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x + e  - e y )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
74 eqeq1 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y + e  - e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( ( y + e  - e
x )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 ) )
7574bibi1d 310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y + e  - e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( ( ( y + e  - e x )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) ) )
76 eqeq1 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x + e  - e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( ( x + e  - e
y )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 ) )
7776bibi1d 310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x + e  - e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( ( ( x + e  - e y )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) ) )
7875, 77ifboth 3598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y + e  - e x )  =  0  <->  (
x + e  - e y )  =  0 )  /\  (
( x + e  - e y )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
7972, 73, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
8053, 79mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x + e  - e y )  =  0 )
8150, 80eqtr3d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  -  y )  =  0 )
8246, 48, 81subeq0d 9167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  =  y )
8337, 82pm2.61dane 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  x  =  y )
8483ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  ->  x  =  y )
)
8513xrsdsval 16417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  if ( y  <_  y ,  ( y + e  - e y ) ,  ( y + e  - e y ) ) )
8685anidms 626 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  if ( y  <_ 
y ,  ( y + e  - e
y ) ,  ( y + e  - e y ) ) )
87 xrleid 10486 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
88 iftrue 3573 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  <_  y  ->  if ( y  <_  y ,  ( y + e  - e y ) ,  ( y + e  - e
y ) )  =  ( y + e  - e y ) )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  if ( y  <_  y , 
( y + e  - e y ) ,  ( y + e  - e y ) )  =  ( y + e  - e y ) )
90 xnegid 10565 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y + e  - e
y )  =  0 )
9186, 89, 903eqtrd 2321 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  0 )
9291adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  0 )
93 oveq1 5867 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D y ) )
9493eqeq1d 2293 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
y D y )  =  0 ) )
9592, 94syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  -> 
( x D y )  =  0 ) )
9684, 95impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
9732, 36, 963bitr2d 272 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
9897adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
99 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  RR )
10099leidd 9341 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  <_  ( z D y ) )
101 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  z  =  x )
102101oveq1d 5875 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( x D y ) )
103101oveq1d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  ( x D x ) )
104 simpll1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  x  e.  RR* )
105 oveq12 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  x  /\  y  =  x )  ->  ( y D y )  =  ( x D x ) )
106105anidms 626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y D y )  =  ( x D x ) )
107106eqeq1d 2293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( y D y )  =  0  <->  (
x D x )  =  0 ) )
108107, 91vtoclga 2851 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x D x )  =  0 )
109104, 108syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D x )  =  0 )
110103, 109eqtrd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  0 )
111110oveq1d 5875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( 0  +  ( z D y ) ) )
11299recnd 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  CC )
113112addid2d 9015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( 0  +  ( z D y ) )  =  ( z D y ) )
114111, 113eqtr2d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
115100, 102, 1143brtr3d 4054 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
116 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  z  =  y )
117116oveq1d 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  =  ( y D x ) )
118 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  e.  RR )
119117, 118eqeltrrd 2360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  RR )
120119leidd 9341 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  <_  ( y D x ) )
121 simpll1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  x  e.  RR* )
122 simpll2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  y  e.  RR* )
123 oveq2 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
y D x )  =  ( y D y ) )
12493, 123eqtr4d 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
125124adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
126 eqeq2 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x + e  - e y )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  ( x + e  - e y )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) ) )
127 eqeq2 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y + e  - e x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  ( y + e  - e x )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) ) )
128 xrleloe 10480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
129128adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
130 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  =/=  y )
131130neneqd 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  -.  x  =  y )
132 biorf 394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  =  y  \/  x  <  y ) ) )
133 orcom 376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  y  \/  x  <  y )  <-> 
( x  <  y  \/  x  =  y
) )
134132, 133syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
135131, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
136 xrltnle 8893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
137136adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
138129, 135, 1373bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <_  x ) )
139138con2bid 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <_  y ) )
140139biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  -.  x  <_  y )
141 iffalse 3574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  <_  y  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) )  =  ( x + e  - e y ) )
142140, 141syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  ( x + e  - e y ) )
143138biimpar 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  x  <_  y )
144 iftrue 3573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  <_  y  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  ( y + e  - e x ) )
145143, 144syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) )  =  ( y + e  - e x ) )
146126, 127, 142, 145ifbothda 3597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  if (
x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) )
14729adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) ) )
14813xrsdsval 16417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) )
149148ancoms 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) )
150149adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e
x ) ) )
151146, 147, 1503eqtr4d 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
152125, 151pm2.61dane 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
153121, 122, 152syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
154116oveq1d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  ( y D y ) )
155122, 91syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D y )  =  0 )
156154, 155eqtrd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  0 )
157117, 156oveq12d 5878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( y D x )  +  0 ) )
158119recnd 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  CC )
159158addid1d 9014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( y D x )  +  0 )  =  ( y D x ) )
160157, 159eqtrd 2317 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( y D x ) )
161120, 153, 1603brtr4d 4055 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
162 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  e.  RR )
163 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR* )
164 simpll1 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR* )
165 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  x )
16613xrsdsreclb 16420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  =/=  x )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
167163, 164, 165, 166syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
168162, 167mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  x  e.  RR )
)
169168simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR )
170169recnd 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  CC )
171 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  e.  RR )
172 simpll2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR* )
173 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  y )
17413xrsdsreclb 16420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  =/=  y )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
175163, 172, 173, 174syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
176171, 175mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
177176simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR )
178177recnd 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  CC )
179168simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR )
180179recnd 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  CC )
181170, 178, 180abs3difd 11944 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  <_ 
( ( abs `  (
x  -  z ) )  +  ( abs `  ( z  -  y
) ) ) )
18213xrsdsreval 16418 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
183169, 177, 182syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  =  ( abs `  (
x  -  y ) ) )
18413xrsdsreval 16418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( z D x )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
185168, 184syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
z  -  x ) ) )
186180, 170abssubd 11937 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( z  -  x ) )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
187185, 186eqtrd 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
18813xrsdsreval 16418 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z D y )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
189176, 188syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  =  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
190187, 189oveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  +  ( abs `  ( z  -  y ) ) ) )
191181, 183, 1903brtr4d 4055 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
192115, 161, 191pm2.61da2ne 2527 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1931923adant1 973 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1942, 17, 31, 98, 193isxmet2d 17894 . 2  |-  (  T. 
->  D  e.  ( * Met `  RR* )
)
195194trud 1314 1  |-  D  e.  ( * Met `  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   _Vcvv 2790   ifcif 3567   class class class wbr 4025    X. cxp 4689   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739    + caddc 8742   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039    - ecxne 10451   + ecxad 10452   abscabs 11721   distcds 13219   RR* scxrs 13401   * Metcxmt 16371
This theorem is referenced by:  xrsdsre  18318  xrsblre  18319  xrsmopn  18320  metdcnlem  18343  xmetdcn2  18344  xmetdcn  18345  metdscn  18362  metdscn2  18363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-icc 10665  df-fz 10785  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-xrs 13405  df-xmet 16375
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