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Theorem xrsxmet 18832
Description: The metric on the extended reals is a proper extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1  |-  D  =  ( dist `  RR* s
)
Assertion
Ref Expression
xrsxmet  |-  D  e.  ( * Met `  RR* )

Proof of Theorem xrsxmet
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 10601 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  RR*  e.  _V )
3 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  e. 
RR* )
4 xnegcl 10791 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  - e
x  e.  RR* )
5 xaddcl 10815 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  - e
x  e.  RR* )  ->  ( y + e  - e x )  e. 
RR* )
63, 4, 5syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y + e  - e x )  e. 
RR* )
7 xnegcl 10791 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  - e
y  e.  RR* )
8 xaddcl 10815 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  - e
y  e.  RR* )  ->  ( x + e  - e y )  e. 
RR* )
97, 8sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x + e  - e y )  e. 
RR* )
10 ifcl 3767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y + e  - e x )  e. 
RR*  /\  ( x + e  - e y )  e.  RR* )  ->  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  e.  RR* )
116, 9, 10syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  e.  RR* )
1211rgen2a 2764 . . . . 5  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  e.  RR*
13 xrsxmet.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( dist `  RR* s
)
1413xrsds 16733 . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  if ( x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) )
1514fmpt2 6410 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  e.  RR*  <->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
1612, 15mpbi 200 . . . 4  |-  D :
( RR*  X.  RR* ) --> RR*
1716a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  D : ( RR*  X. 
RR* ) --> RR* )
18 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( ( y + e  - e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( y + e  - e x )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) ) ) )
19 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( ( x + e  - e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( 0  <_ 
( x + e  - e y )  <->  0  <_  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) ) ) )
20 xsubge0 10832 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y + e  - e x )  <->  x  <_  y ) )
2120ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( y + e  - e x )  <->  x  <_  y ) )
2221biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  <_  y )  ->  0  <_  (
y + e  - e x ) )
23 xrletri 10736 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  \/  y  <_  x ) )
2423orcanai 880 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  y  <_  x )
25 xsubge0 10832 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( x + e  - e y )  <->  y  <_  x
) )
2625biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  y  <_  x )  ->  0  <_  (
x + e  - e y ) )
2724, 26syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  -.  x  <_  y
)  ->  0  <_  ( x + e  - e y ) )
2818, 19, 22, 27ifbothda 3761 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) ) )
2913xrsdsval 16734 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) ) )
3028, 29breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  0  <_  ( x D y ) )
3130adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
0  <_  ( x D y ) )
3230biantrud 494 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  ( (
x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3329, 11eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  e.  RR* )
34 0xr 9123 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
35 xrletri3 10737 . . . . . 6  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
3633, 34, 35sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
37 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =  y )  ->  x  =  y )
38 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  =  0 )
39 0re 9083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
4038, 39syl6eqel 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x D y )  e.  RR )
4113xrsdsreclb 16737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
42413expa 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( (
x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4342adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x D y )  e.  RR  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
4440, 43mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
4544simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  RR )
4645recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  CC )
4744simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  RR )
4847recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  y  e.  CC )
49 rexsub 10811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x + e  - e y )  =  ( x  -  y
) )
5044, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x + e  - e y )  =  ( x  -  y
) )
5129eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 ) )
5251biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 )
54 xneg11 10793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y + e  - e x )  e. 
RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (  - e
( y + e  - e x )  = 
- e 0  <->  (
y + e  - e x )  =  0 ) )
556, 34, 54sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  - e ( y + e  - e x )  =  - e
0  <->  ( y + e  - e x )  =  0 ) )
56 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
574adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
x  e.  RR* )
58 xnegdi 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  - e
x  e.  RR* )  -> 
- e ( y + e  - e
x )  =  ( 
- e y + e  - e  - e x ) )
5956, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
( y + e  - e x )  =  (  - e y + e  - e  - e x ) )
60 xnegneg 10792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  - e  - e x  =  x )
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e  - e x  =  x )
6261oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  - e y + e  - e  - e x )  =  (  - e y + e
x ) )
637adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
y  e.  RR* )
64 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
65 xaddcom 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 
- e y  e. 
RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (  - e
y + e x )  =  ( x + e  - e
y ) )
6663, 64, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  - e y + e
x )  =  ( x + e  - e y ) )
6759, 62, 663eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
( y + e  - e x )  =  ( x + e  - e y ) )
68 xneg0 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  - e
0  =  0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  - e
0  =  0 )
7067, 69eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (  - e ( y + e  - e x )  =  - e
0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
7155, 70bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( y + e  - e x )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
7271ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( y + e  - e x )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
73 biidd 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
( x + e  - e y )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
74 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y + e  - e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( ( y + e  - e
x )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 ) )
7574bibi1d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y + e  - e x )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( ( ( y + e  - e x )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) ) )
76 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x + e  - e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( ( x + e  - e
y )  =  0  <-> 
if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0 ) )
7776bibi1d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x + e  - e y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  ->  ( ( ( x + e  - e y )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 )  <-> 
( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) ) )
7875, 77ifboth 3762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y + e  - e x )  =  0  <->  (
x + e  - e y )  =  0 )  /\  (
( x + e  - e y )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
7972, 73, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  ( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) )  =  0  <->  ( x + e  - e y )  =  0 ) )
8053, 79mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x + e  - e y )  =  0 )
8150, 80eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  (
x  -  y )  =  0 )
8246, 48, 81subeq0d 9411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  /\  x  =/=  y )  ->  x  =  y )
8337, 82pm2.61dane 2676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x D y )  =  0 )  ->  x  =  y )
8483ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  ->  x  =  y )
)
8513xrsdsval 16734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  if ( y  <_  y ,  ( y + e  - e y ) ,  ( y + e  - e y ) ) )
8685anidms 627 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  if ( y  <_ 
y ,  ( y + e  - e
y ) ,  ( y + e  - e y ) ) )
87 xrleid 10735 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
88 iftrue 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  <_  y  ->  if ( y  <_  y ,  ( y + e  - e y ) ,  ( y + e  - e
y ) )  =  ( y + e  - e y ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  if ( y  <_  y , 
( y + e  - e y ) ,  ( y + e  - e y ) )  =  ( y + e  - e y ) )
90 xnegid 10814 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y + e  - e
y )  =  0 )
9186, 89, 903eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( y D y )  =  0 )
9291adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D y )  =  0 )
93 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D y ) )
9493eqeq1d 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x D y )  =  0  <->  (
y D y )  =  0 ) )
9592, 94syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  =  y  -> 
( x D y )  =  0 ) )
9684, 95impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
9732, 36, 963bitr2d 273 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
9897adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x D y )  <_  0  <->  x  =  y ) )
99 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  RR )
10099leidd 9585 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  <_  ( z D y ) )
101 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  z  =  x )
102101oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( x D y ) )
103101oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  ( x D x ) )
104 simpll1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  x  e.  RR* )
105 oveq12 6082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  x  /\  y  =  x )  ->  ( y D y )  =  ( x D x ) )
106105anidms 627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y D y )  =  ( x D x ) )
107106eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( y D y )  =  0  <->  (
x D x )  =  0 ) )
108107, 91vtoclga 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x D x )  =  0 )
109104, 108syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D x )  =  0 )
110103, 109eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D x )  =  0 )
111110oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( 0  +  ( z D y ) ) )
11299recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  e.  CC )
113112addid2d 9259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( 0  +  ( z D y ) )  =  ( z D y ) )
114111, 113eqtr2d 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( z D y )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
115100, 102, 1143brtr3d 4233 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  x )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
116 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  z  =  y )
117116oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  =  ( y D x ) )
118 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D x )  e.  RR )
119117, 118eqeltrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  RR )
120119leidd 9585 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  <_  ( y D x ) )
121 simpll1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  x  e.  RR* )
122 simpll2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  y  e.  RR* )
123 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
y D x )  =  ( y D y ) )
12493, 123eqtr4d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
125124adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
126 eqeq2 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x + e  - e y )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  ( x + e  - e y )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) ) )
127 eqeq2 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y + e  - e x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e
x ) )  -> 
( if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  ( y + e  - e x )  <->  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) ) )
128 xrleloe 10729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
129128adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
130 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  =/=  y )
131130neneqd 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  -.  x  =  y )
132 biorf 395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  =  y  \/  x  <  y ) ) )
133 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  y  \/  x  <  y )  <-> 
( x  <  y  \/  x  =  y
) )
134132, 133syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  y  -> 
( x  <  y  <->  ( x  <  y  \/  x  =  y ) ) )
135131, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  ( x  < 
y  \/  x  =  y ) ) )
136 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
137136adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
138129, 135, 1373bitr2d 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <_  x ) )
139138con2bid 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y  <_  x  <->  -.  x  <_  y ) )
140139biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  -.  x  <_  y )
141 iffalse 3738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  <_  y  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) )  =  ( x + e  - e y ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  ( x + e  - e y ) )
143138biimpar 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  x  <_  y )
144 iftrue 3737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  <_  y  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  ( y + e  - e x ) )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y )  /\  -.  y  <_  x )  ->  if ( x  <_  y ,  ( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e
y ) )  =  ( y + e  - e x ) )
146126, 127, 142, 145ifbothda 3761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  if (
x  <_  y , 
( y + e  - e x ) ,  ( x + e  - e y ) )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) )
14729adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  if ( x  <_ 
y ,  ( y + e  - e
x ) ,  ( x + e  - e y ) ) )
14813xrsdsval 16734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) )
149148ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e x ) ) )
150149adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y D x )  =  if ( y  <_  x ,  ( x + e  - e y ) ,  ( y + e  - e
x ) ) )
151146, 147, 1503eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
152125, 151pm2.61dane 2676 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x D y )  =  ( y D x ) )
153121, 122, 152syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
154116oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  ( y D y ) )
155122, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D y )  =  0 )
156154, 155eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( z D y )  =  0 )
157117, 156oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( y D x )  +  0 ) )
158119recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( y D x )  e.  CC )
159158addid1d 9258 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( y D x )  +  0 )  =  ( y D x ) )
160157, 159eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( y D x ) )
161120, 153, 1603brtr4d 4234 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  z  =  y )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
162 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  e.  RR )
163 simpll3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR* )
164 simpll1 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR* )
165 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  x )
16613xrsdsreclb 16737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  z  =/=  x )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
167163, 164, 165, 166syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR ) ) )
168162, 167mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  x  e.  RR )
)
169168simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  RR )
170169recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  x  e.  CC )
171 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  e.  RR )
172 simpll2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR* )
173 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  =/=  y )
17413xrsdsreclb 16737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  =/=  y )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
175163, 172, 173, 174syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D y )  e.  RR  <->  ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
176171, 175mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  y  e.  RR )
)
177176simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  RR )
178177recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  y  e.  CC )
179168simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  RR )
180179recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  z  e.  CC )
181170, 178, 180abs3difd 12254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  <_ 
( ( abs `  (
x  -  z ) )  +  ( abs `  ( z  -  y
) ) ) )
18213xrsdsreval 16735 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x D y )  =  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
183169, 177, 182syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  =  ( abs `  (
x  -  y ) ) )
18413xrsdsreval 16735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( z D x )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
185168, 184syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
z  -  x ) ) )
186180, 170abssubd 12247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  ( abs `  ( z  -  x ) )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
187185, 186eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D x )  =  ( abs `  (
x  -  z ) ) )
18813xrsdsreval 16735 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z D y )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
189176, 188syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
z D y )  =  ( abs `  (
z  -  y ) ) )
190187, 189oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  +  ( abs `  ( z  -  y ) ) ) )
191181, 183, 1903brtr4d 4234 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* 
/\  z  e.  RR* )  /\  ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  /\  ( z  =/=  x  /\  z  =/=  y
) )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
192115, 161, 191pm2.61da2ne 2677 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1931923adant1 975 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  /\  (
( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR ) )  ->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1942, 17, 31, 98, 193isxmet2d 18349 . 2  |-  (  T. 
->  D  e.  ( * Met `  RR* )
)
195194trud 1332 1  |-  D  e.  ( * Met `  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948   ifcif 3731   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    - ecxne 10699   + ecxad 10700   abscabs 12031   distcds 13530   RR* scxrs 13714   * Metcxmt 16678
This theorem is referenced by:  xrsdsre  18833  xrsblre  18834  xrsmopn  18835  metdcnlem  18859  xmetdcn2  18860  xmetdcn  18861  metdscn  18878  metdscn2  18879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-icc 10915  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-xrs 13718  df-xmet 16687
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