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Theorem xrtgioo 18837
 Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1 ordTop t
Assertion
Ref Expression
xrtgioo

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 17270 . . . . . . . 8 ordTop
2 ioof 11002 . . . . . . . . . . 11
3 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
5 iooordt 17281 . . . . . . . . . . 11 ordTop
65rgen2w 2774 . . . . . . . . . 10 ordTop
7 ffnov 6174 . . . . . . . . . 10 ordTop ordTop
84, 6, 7mpbir2an 887 . . . . . . . . 9 ordTop
9 frn 5597 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . 8 ordTop
11 tgss 17033 . . . . . . . 8 ordTop ordTop ordTop
121, 10, 11mp2an 654 . . . . . . 7 ordTop
13 tgtop 17038 . . . . . . . 8 ordTop ordTop ordTop
141, 13ax-mp 8 . . . . . . 7 ordTop ordTop
1512, 14sseqtri 3380 . . . . . 6 ordTop
1615sseli 3344 . . . . 5 ordTop
17 retopon 18797 . . . . . 6 TopOn
18 toponss 16994 . . . . . 6 TopOn
1917, 18mpan 652 . . . . 5
20 reordt 17282 . . . . . 6 ordTop
21 restopn2 17241 . . . . . 6 ordTop ordTop ordTop t ordTop
221, 20, 21mp2an 654 . . . . 5 ordTop t ordTop
2316, 19, 22sylanbrc 646 . . . 4 ordTop t
2423ssriv 3352 . . 3 ordTop t
25 eqid 2436 . . . . . . 7
26 eqid 2436 . . . . . . 7
27 eqid 2436 . . . . . . 7
2825, 26, 27leordtval 17277 . . . . . 6 ordTop
2928oveq1i 6091 . . . . 5 ordTop t t
3028, 1eqeltrri 2507 . . . . . . 7
31 tgclb 17035 . . . . . . 7
3230, 31mpbir 201 . . . . . 6
33 reex 9081 . . . . . 6
34 tgrest 17223 . . . . . 6 t t
3532, 33, 34mp2an 654 . . . . 5 t t
3629, 35eqtr4i 2459 . . . 4 ordTop t t
37 retopbas 18794 . . . . 5
38 elrest 13655 . . . . . . . 8 t
3932, 33, 38mp2an 654 . . . . . . 7 t
40 elun 3488 . . . . . . . . . 10
41 elun 3488 . . . . . . . . . . . 12
42 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443elrnmpt 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15
4542, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
46 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47 pnfxr 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
49 rexr 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5049adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
51 df-ioc 10921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5251elixx3g 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5352baib 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5446, 48, 50, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55 pnfge 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5756biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
58 ltpnf 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5958adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6059biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6154, 57, 603bitr2d 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6261pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6563, 64bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66 3anass 940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6762, 65, 663bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68 elioo2 10957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6947, 68mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7067, 69bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170eqrdv 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 ioorebas 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7371, 72syl6eqel 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7673, 75syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776rexlimiv 2824 . . . . . . . . . . . . . 14
7845, 77sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13
79 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079elrnmpt 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15
8142, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
82 mnfxr 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84 df-ico 10922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8584elixx3g 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8685baib 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8783, 46, 50, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
88 mnfle 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8950, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9089biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
91 mnflt 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9291adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9392biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9487, 90, 933bitr2d 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9594pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9896, 97bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99 3anass 940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10095, 98, 993bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101 elioo2 10957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10282, 101mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103100, 102bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104103eqrdv 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105 ioorebas 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106104, 105syl6eqel 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108107eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109106, 108syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109rexlimiv 2824 . . . . . . . . . . . . . 14
11181, 110sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13
11278, 111jaoi 369 . . . . . . . . . . . 12
11341, 112sylbi 188 . . . . . . . . . . 11
114 elssuni 4043 . . . . . . . . . . . . . 14
115 unirnioo 11004 . . . . . . . . . . . . . 14
116114, 115syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . . . 13
117 df-ss 3334 . . . . . . . . . . . . 13
118116, 117sylib 189 . . . . . . . . . . . 12
119 id 20 . . . . . . . . . . . 12
120118, 119eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11
121113, 120jaoi 369 . . . . . . . . . 10
12240, 121sylbi 188 . . . . . . . . 9
123 eleq1 2496 . . . . . . . . 9
124122, 123syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8
125124rexlimiv 2824 . . . . . . 7
12639, 125sylbi 188 . . . . . 6 t
127126ssriv 3352 . . . . 5 t
128 tgss 17033 . . . . 5 t t
12937, 127, 128mp2an 654 . . . 4 t
13036, 129eqsstri 3378 . . 3 ordTop t
13124, 130eqssi 3364 . 2 ordTop t
132 xrtgioo.1 . 2 ordTop t
133131, 132eqtr4i 2459 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956   cun 3318   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  cuni 4015   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cr 8989   cpnf 9117   cmnf 9118  cxr 9119   clt 9120   cle 9121  cioo 10916  cioc 10917  cico 10918   ↾t crest 13648  ctg 13665  ordTopcordt 13721  ctop 16958  TopOnctopon 16959  ctb 16962 This theorem is referenced by:  xrrest  18838  xrsmopn  18843  xrge0tsms  18865  metdcn2  18870  xrge0tsmsd  24223 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-ordt 13725  df-ps 14629  df-tsr 14630  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966
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