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Theorem xrtgioo 18794
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
Assertion
Ref Expression
xrtgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables  a 
b  c  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 17228 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
2 ioof 10962 . . . . . . . . . . 11  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
3 ffn 5554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
5 iooordt 17239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
65rgen2w 2738 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  )
7 ffnov 6137 . . . . . . . . . 10  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  (ordTop `  <_  ) ) )
84, 6, 7mpbir2an 887 . . . . . . . . 9  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> (ordTop `  <_  )
9 frn 5560 . . . . . . . . 9  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> (ordTop `  <_  )  ->  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  C_  (ordTop `  <_  )
11 tgss 16992 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  ran  (,)  C_  (ordTop ` 
<_  ) )  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  C_  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) ) )
121, 10, 11mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  ( topGen `
 (ordTop `  <_  ) )
13 tgtop 16997 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  <_  )  e.  Top  ->  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  ) )
141, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  (ordTop `  <_  ) )  =  (ordTop `  <_  )
1512, 14sseqtri 3344 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (ordTop ` 
<_  )
1615sseli 3308 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  (ordTop `  <_  ) )
17 retopon 18754 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
18 toponss 16953 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  x  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
)  ->  x  C_  RR )
1917, 18mpan 652 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  C_  RR )
20 reordt 17240 . . . . . 6  |-  RR  e.  (ordTop `  <_  )
21 restopn2 17199 . . . . . 6  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Top  /\  RR  e.  (ordTop `  <_  ) )  ->  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <-> 
( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) ) )
221, 20, 21mp2an 654 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  <->  ( x  e.  (ordTop `  <_  )  /\  x  C_  RR ) )
2316, 19, 22sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ran  (,) )  ->  x  e.  ( (ordTop `  <_  )t  RR ) )
2423ssriv 3316 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  C_  (
(ordTop `  <_  )t  RR )
25 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )
26 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  =  ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
27 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
2825, 26, 27leordtval 17235 . . . . . 6  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)
2928oveq1i 6054 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3028, 1eqeltrri 2479 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top
31 tgclb 16994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  <-> 
( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)  e.  Top )
3230, 31mpbir 201 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases
33 reex 9041 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
34 tgrest 17181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( topGen `  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR ) )
3532, 33, 34mp2an 654 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  =  ( ( topGen `  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
)t 
RR )
3629, 35eqtr4i 2431 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  =  (
topGen `  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )
37 retopbas 18751 . . . . 5  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
38 elrest 13614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  e. 
TopBases  /\  RR  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) ) )
3932, 33, 38mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) 
<->  E. v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR ) )
40 elun 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) ) )
41 elun 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  <-> 
( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  \/  v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) ) )
42 vex 2923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  v  e. 
_V
43 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )
4443elrnmpt 5080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,]  +oo )
) )
4542, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,]  +oo )
)
46 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  x  e.  RR* )
47 pnfxr 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  +oo  e.  RR*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  +oo  e.  RR* )
49 rexr 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  RR* )
5049adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR* )
51 df-ioc 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (,]  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <  c  /\  c  <_  b ) } )
5251elixx3g 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x (,] 
+oo )  <->  ( (
x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  (
x  <  y  /\  y  <_  +oo ) ) )
5352baib 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,]  +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_  +oo ) ) )
5446, 48, 50, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,]  +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <_  +oo ) ) )
55 pnfge 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  +oo )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_  +oo )
5756biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  <_  +oo ) ) )
58 ltpnf 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  +oo )
5958adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  y  <  +oo )
6059biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <  y  /\  y  <  +oo ) ) )
6154, 57, 603bitr2d 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( x (,]  +oo )  <->  ( x  <  y  /\  y  <  +oo ) ) )
6261pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,]  +oo ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  <  +oo ) ) ) )
63 elin 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  ( x (,]  +oo )  /\  y  e.  RR ) )
64 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( x (,]  +oo )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,]  +oo ) ) )
6563, 64bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  ( x (,]  +oo ) ) )
66 3anass 940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  <  y  /\  y  <  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( x  <  y  /\  y  <  +oo ) ) )
6762, 65, 663bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  x  <  y  /\  y  <  +oo ) ) )
68 elioo2 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
y  e.  ( x (,)  +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  <  +oo ) ) )
6947, 68mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( x (,) 
+oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  x  < 
y  /\  y  <  +oo ) ) )
7067, 69bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( ( x (,]  +oo )  i^i  RR ) 
<->  y  e.  ( x (,)  +oo ) ) )
7170eqrdv 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  RR )  =  ( x (,)  +oo )
)
72 ioorebas 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x (,)  +oo )  e.  ran  (,)
7371, 72syl6eqel 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( x (,]  +oo )  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
74 ineq1 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( x (,] 
+oo )  ->  (
v  i^i  RR )  =  ( ( x (,]  +oo )  i^i  RR ) )
7574eleq1d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( x (,] 
+oo )  ->  (
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( (
x (,]  +oo )  i^i 
RR )  e.  ran  (,) ) )
7673, 75syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  ( x (,] 
+oo )  ->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
7776rexlimiv 2788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  ( x (,] 
+oo )  ->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
7845, 77sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  -> 
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
79 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  =  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )
8079elrnmpt 5080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( 
-oo [,) x ) ) )
8142, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  <->  E. x  e.  RR*  v  =  ( 
-oo [,) x ) )
82 mnfxr 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  -oo  e.  RR*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  -oo  e.  RR* )
84 df-ico 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
8584elixx3g 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  (  -oo [,) x )  <->  ( (  -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  (  -oo  <_  y  /\  y  <  x ) ) )
8685baib 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  (
y  e.  (  -oo [,) x )  <->  (  -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
8783, 46, 50, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  (  -oo [,) x )  <->  (  -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
88 mnfle 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR*  ->  -oo  <_  y )
8950, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  -oo  <_  y )
9089biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  (  -oo  <_  y  /\  y  < 
x ) ) )
91 mnflt 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  -oo  <  y )
9291adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  -oo  <  y )
9392biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  <  x  <->  (  -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9487, 90, 933bitr2d 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  (  -oo [,) x )  <->  (  -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
9594pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  (  -oo [,) x ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  (  -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) ) )
96 elin 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( (  -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  ( 
-oo [,) x )  /\  y  e.  RR )
)
97 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  (  -oo [,) x )  /\  y  e.  RR )  <->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  (  -oo [,) x
) ) )
9896, 97bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( (  -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\  y  e.  (  -oo [,) x ) ) )
99 3anass 940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -oo 
<  y  /\  y  <  x )  <->  ( y  e.  RR  /\  (  -oo  <  y  /\  y  < 
x ) ) )
10095, 98, 993bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( (  -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  ( y  e.  RR  /\ 
-oo  <  y  /\  y  <  x ) ) )
101 elioo2 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  e.  (  -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\  -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
10282, 101mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  (  -oo (,) x )  <->  ( y  e.  RR  /\  -oo  <  y  /\  y  <  x
) ) )
103100, 102bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( y  e.  ( (  -oo [,) x )  i^i  RR ) 
<->  y  e.  (  -oo (,) x ) ) )
104103eqrdv 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo [,) x )  i^i 
RR )  =  ( 
-oo (,) x ) )
105 ioorebas 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  -oo (,) x )  e.  ran  (,)
106104, 105syl6eqel 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo [,) x )  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
107 ineq1 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  (  -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  =  ( (  -oo [,) x )  i^i  RR ) )
108107eleq1d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  (  -oo [,) x )  ->  (
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,)  <->  ( (  -oo [,) x )  i^i 
RR )  e.  ran  (,) ) )
109106, 108syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( v  =  (  -oo [,) x )  ->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
110109rexlimiv 2788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  RR*  v  =  (  -oo [,) x
)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11181, 110sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) )  -> 
( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
11278, 111jaoi 369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  \/  v  e.  ran  (
x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
11341, 112sylbi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  ->  ( v  i^i 
RR )  e.  ran  (,) )
114 elssuni 4007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
115 unirnioo 10964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ran  (,)
116114, 115syl6sseqr 3359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
117 df-ss 3298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  RR  <->  ( v  i^i 
RR )  =  v )
118116, 117sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  =  v )
119 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  ran  (,) )
120118, 119eqeltrd 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
121113, 120jaoi 369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  \/  v  e.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
12240, 121sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( v  i^i  RR )  e.  ran  (,) )
123 eleq1 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( v  i^i 
RR )  ->  (
u  e.  ran  (,)  <->  (
v  i^i  RR )  e.  ran  (,) ) )
124122, 123syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) ) )
125124rexlimiv 2788 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )
u  =  ( v  i^i  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
12639, 125sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ( ( ran  ( x  e. 
RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  ->  u  e.  ran  (,) )
127126ssriv 3316 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,)
128 tgss 16992 . . . . 5  |-  ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  (
( ( ran  (
x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR )  C_  ran  (,) )  ->  ( topGen `  ( (
( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,] 
+oo ) )  u. 
ran  ( x  e. 
RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
)
12937, 127, 128mp2an 654 . . . 4  |-  ( topGen `  ( ( ( ran  ( x  e.  RR*  |->  ( x (,]  +oo ) )  u.  ran  ( x  e.  RR*  |->  (  -oo [,) x ) ) )  u.  ran  (,) )t  RR ) )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13036, 129eqsstri 3342 . . 3  |-  ( (ordTop `  <_  )t  RR )  C_  ( topGen `
 ran  (,) )
13124, 130eqssi 3328 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
132 xrtgioo.1 . 2  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  RR )
133131, 132eqtr4i 2431 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   _Vcvv 2920    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   U.cuni 3979   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230    X. cxp 4839   ran crn 4842    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949    +oocpnf 9077    -oocmnf 9078   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081   (,)cioo 10876   (,]cioc 10877   [,)cico 10878   ↾t crest 13607   topGenctg 13624  ordTopcordt 13680   Topctop 16917  TopOnctopon 16918   TopBasesctb 16921
This theorem is referenced by:  xrrest  18795  xrsmopn  18800  xrge0tsms  18822  metdcn2  18827  xrge0tsmsd  24180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-rest 13609  df-topgen 13626  df-ordt 13684  df-ps 14588  df-tsr 14589  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925
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