MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcl Unicode version

Theorem zaddcl 10106
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zaddcl
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 10087 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y ) )
2 elz2 10087 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )
3 reeanv 2741 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. z  e.  NN  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  <->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) ) )
4 reeanv 2741 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  <->  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) ) )
5 nnaddcl 9813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( x  +  z )  e.  NN )
65adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  +  z )  e.  NN )
7 nnaddcl 9813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  +  w
)  e.  NN )
87adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( y  +  w
)  e.  NN )
9 nncn 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
10 nncn 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
119, 10anim12i 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
12 nncn 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
13 nncn 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
1412, 13anim12i 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )
15 addsub4 9135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( y  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  z )  -  (
y  +  w ) )  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
1611, 14, 15syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  +  z )  -  (
y  +  w ) )  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
1716eqcomd 2321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  =  ( ( x  +  z )  -  ( y  +  w ) ) )
18 rspceov 5935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  z )  e.  NN  /\  ( y  +  w
)  e.  NN  /\  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  =  ( ( x  +  z )  -  ( y  +  w ) ) )  ->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  (
( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  =  ( u  -  v ) )
196, 8, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  (
( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  =  ( u  -  v ) )
20 elz2 10087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ  <->  E. u  e.  NN  E. v  e.  NN  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w
) )  =  ( u  -  v ) )
2119, 20sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ )
22 oveq12 5909 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( M  +  N
)  =  ( ( x  -  y )  +  ( z  -  w ) ) )
2322eleq1d 2382 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  ( x  -  y )  /\  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( ( M  +  N )  e.  ZZ  <->  ( ( x  -  y
)  +  ( z  -  w ) )  e.  ZZ ) )
2421, 23syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( M  =  ( x  -  y
)  /\  N  =  ( z  -  w
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
2524rexlimdvva 2708 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( M  =  ( x  -  y
)  /\  N  =  ( z  -  w
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
264, 25syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ ) )
2726rexlimivv 2706 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. z  e.  NN  ( E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
283, 27sylbir 204 . 2  |-  ( ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  M  =  ( x  -  y )  /\  E. z  e.  NN  E. w  e.  NN  N  =  ( z  -  w ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
291, 2, 28syl2anb 465 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   E.wrex 2578  (class class class)co 5900   CCcc 8780    + caddc 8785    - cmin 9082   NNcn 9791   ZZcz 10071
This theorem is referenced by:  peano2z  10107  zsubcl  10108  zrevaddcl  10110  zdivadd  10130  uzindOLD  10153  zaddcld  10168  eluzaddi  10301  eluzsubi  10302  fzen  10858  fzaddel  10873  fzrev3  10896  fzrevral3  10915  fzoaddel  10953  revccat  11531  climshftlem  12095  isershft  12184  iseraltlem2  12202  fsumzcl  12255  dvds2ln  12606  dvds2add  12607  dvdsadd  12614  dvdsadd2b  12618  divalglem2  12641  ndvdsadd  12654  gcdaddmlem  12754  opoe  12911  opeo  12913  pythagtriplem9  12924  gzaddcl  13031  mod2xnegi  13133  cycsubgcl  14692  efgredleme  15101  zaddablx  15209  pgpfac1lem2  15359  zsubrg  16481  expghm  16506  mulgghm2  16515  cygznlem3  16579  iaa  19758  dchrisumlem1  20691  gxnn0add  20994  gxadd  20995  zaddsubgo  21074  zzsmulg  23522  ballotlemsima  23947  axlowdimlem16  24971  fzadd2  25593  mzpclall  25953  mzpindd  25972  rmxyadd  26154  jm2.18  26229  stoweidlem26  26923  stoweidlem34  26931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072
  Copyright terms: Public domain W3C validator