Theorem zbtwnre 6221

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	|- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ x < (A + 1)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem zbtwnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 6219	. 2 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
2		ltletrt 5524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x - 1) e. RR /\ A e. RR /\ y e. RR) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
3		zret 6139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ZZ -> x e. RR)
4		peano2rem 5442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. RR -> (x - 1) e. RR)
5	3, 4	syl 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ZZ -> (x - 1) e. RR)
6	2, 5	syl3an1 859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR /\ y e. RR) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
7	6	3expa 833	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. RR) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
8		zret 6139	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ZZ -> y e. RR)
9	7, 8	sylan2 451	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. ZZ) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
10		zlem1ltt 6183	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (x <_ y <-> (x - 1) < y))
11	10	adantlr 393	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. ZZ) -> (x <_ y <-> (x - 1) < y))
12	9, 11	sylibrd 204	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. ZZ) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> x <_ y))
13	12	exp4b 379	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (y e. ZZ -> ((x - 1) < A -> (A <_ y -> x <_ y))))
14	13	com23 32	. . . . . . . 8 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A -> (y e. ZZ -> (A <_ y -> x <_ y))))
15	14	r19.21adv 1718	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A -> A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
16		ltnrt 5530	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x - 1) e. RR -> -. (x - 1) < (x - 1))
17	3, 4, 16	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ZZ -> -. (x - 1) < (x - 1))
18		peano2zm 6169	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> (x - 1) e. ZZ)
19		zlem1ltt 6183	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ (x - 1) e. ZZ) -> (x <_ (x - 1) <-> (x - 1) < (x - 1)))
20	18, 19	mpdan 704	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. ZZ -> (x <_ (x - 1) <-> (x - 1) < (x - 1)))
21	17, 20	mtbird 715	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ZZ -> -. x <_ (x - 1))
22	21	ad2antrr 404	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> -. x <_ (x - 1))
23		lenltt 5510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ (x - 1) e. RR) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
24	23, 5	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
25	24	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
26	25	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
27		breq2 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (x - 1) -> (A <_ y <-> A <_ (x - 1)))
28		breq2 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (x - 1) -> (x <_ y <-> x <_ (x - 1)))
29	27, 28	imbi12d 626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (x - 1) -> ((A <_ y -> x <_ y) <-> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1))))
30	29	rcla4v 1873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x - 1) e. ZZ -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1))))
31	18, 30	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1))))
32	31	imp 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1)))
33	32	adantlr 393	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1)))
34	26, 33	sylbird 205	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (-. (x - 1) < A -> x <_ (x - 1)))
35	22, 34	mt3d 114	. . . . . . . 8 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) -> (x - 1) < A)
36	35	ex 373	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (x - 1) < A))
37	15, 36	impbid 516	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
38		1re 5435	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
39		ltsubaddt 5627	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> x < (A + 1)))
40	38, 39	mp3an2 904	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> x < (A + 1)))
41	40, 3	sylan 448	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> x < (A + 1)))
42	37, 41	bitr3d 530	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) <-> x < (A + 1)))
43	42	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) <-> x < (A + 1)))
44	43	anbi2d 616	. . 3 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> ((A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> (A <_ x /\ x < (A + 1))))
45	44	reubidva 1779	. 2 |- (A e. RR -> (E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> E!x e. ZZ (A <_ x /\ x < (A + 1))))
46	1, 45	mpbid 195	1 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ x < (A + 1)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E!wreu 1647   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237   - cmin 5292   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486

This theorem is referenced by:  rebtwnz 6222  qbtwnre 6278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136

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