MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zexpcl Unicode version

Theorem zexpcl 11120
Description: Closure of exponentiation of integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
zexpcl  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsscn 10034 . 2  |-  ZZ  C_  CC
2 zmulcl 10068 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
3 1z 10055 . 2  |-  1  e.  ZZ
41, 2, 3expcllem 11116 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686  (class class class)co 5860   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ^cexp 11106
This theorem is referenced by:  zsqcl  11176  modexp  11238  climcndslem1  12310  iddvdsexp  12554  dvdsexp  12586  3dvds  12593  prmdvdsexp  12795  rpexp  12801  rpexp12i  12803  phiprmpw  12846  eulerthlem2  12852  fermltl  12854  prmdiv  12855  prmdiveq  12856  odzcllem  12859  odzdvds  12862  odzphi  12863  pcneg  12928  pcprmpw  12937  prmpwdvds  12953  pockthlem  12954  dyaddisjlem  18952  aalioulem1  19714  aaliou3lem6  19730  muf  20380  dvdsppwf1o  20428  mersenne  20468  lgslem1  20537  lgslem4  20540  lgsval2lem  20547  lgsvalmod  20556  lgsmod  20562  lgsdirprm  20570  lgsne0  20574  lgsqrlem1  20582  lgseisenlem2  20591  lgseisenlem4  20593  m1lgs  20603  dvdspw  24105  nn0prpwlem  26249  nn0prpw  26250  jm2.18  27092  jm2.22  27099  jm2.23  27100  jm2.20nn  27101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-seq 11049  df-exp 11107
  Copyright terms: Public domain W3C validator