Theorem zfcndinf 4942

Description: Axiom of Infinity, reproved from conditionless ZFC axioms. Since we have already reproved Extensionality, Replacement, and Power Sets, we are justified in referencing theorem el 2741 in the proof.

Assertion

Ref	Expression
zfcndinf	|- E.y(x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		el 2741	. . 3 |- E.w x e. w
2		ax-17 968	. . . . . 6 |- (x e. y -> A.w x e. y)
3		hbe1 1012	. . . . . . . 8 |- (E.w(x e. w /\ w e. y) -> A.wE.w(x e. w /\ w e. y))
4	2, 3	hbim 1004	. . . . . . 7 |- ((x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)) -> A.w(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
5	4	hbal 1002	. . . . . 6 |- (A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)) -> A.wA.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
6	2, 5	hban 1006	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))) -> A.w(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
7	6	hbex 1003	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))) -> A.wE.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
8		ax-17 968	. . . . 5 |- (x e. w -> A.y x e. w)
9		axinfnd 4930	. . . . . 6 |- E.y(x e. w -> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
10	9	19.35i 1072	. . . . 5 |- (A.y x e. w -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
11	8, 10	syl 10	. . . 4 |- (x e. w -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
12	7, 11	19.23ai 1060	. . 3 |- (E.w x e. w -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
13	1, 12	ax-mp 7	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
14		elequ1 1132	. . . . . 6 |- (z = x -> (z e. y <-> x e. y))
15		elequ1 1132	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (z e. w <-> x e. w))
16	15	anbi1d 615	. . . . . . 7 |- (z = x -> ((z e. w /\ w e. y) <-> (x e. w /\ w e. y)))
17	16	exbidv 1274	. . . . . 6 |- (z = x -> (E.w(z e. w /\ w e. y) <-> E.w(x e. w /\ w e. y)))
18	14, 17	imbi12d 624	. . . . 5 |- (z = x -> ((z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)) <-> (x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
19	18	cbvalv 1309	. . . 4 |- (A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)) <-> A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
20	19	anbi2i 479	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y))) <-> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
21	20	exbii 1047	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
22	13, 21	mpbir 190	1 |- E.y(x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-15 1353  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-reg 4565  ax-inf 4594

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403

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