HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem zfcndrep 4938
Description: Axiom of Replacement, reproved from conditionless ZFC axioms.
Assertion
Ref Expression
zfcndrep |- (A.wE.yA.z(A.yph -> z = y) -> E.yA.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndrep
StepHypRef Expression
1 hbe1 1012 . . . . . 6 |- (E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.yE.yA.z(A.yph -> z = y))
2 ax-17 968 . . . . . . . 8 |- (z e. w -> A.y z e. w)
3 ax-17 968 . . . . . . . . . 10 |- (w e. x -> A.y w e. x)
4 hba1 1000 . . . . . . . . . 10 |- (A.yA.yph -> A.yA.yA.yph)
53, 4hban 1006 . . . . . . . . 9 |- ((w e. x /\ A.yA.yph) -> A.y(w e. x /\ A.yA.yph))
65hbex 1003 . . . . . . . 8 |- (E.w(w e. x /\ A.yA.yph) -> A.yE.w(w e. x /\ A.yA.yph))
72, 6hbbi 1007 . . . . . . 7 |- ((z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) -> A.y(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
87hbal 1002 . . . . . 6 |- (A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) -> A.yA.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
91, 8hbim 1004 . . . . 5 |- ((E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))) -> A.y(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))))
109hbex 1003 . . . 4 |- (E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))) -> A.yE.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))))
11 elequ2 1133 . . . . . . . . . 10 |- (y = x -> (w e. y <-> w e. x))
1211anbi1d 615 . . . . . . . . 9 |- (y = x -> ((w e. y /\ A.yA.yph) <-> (w e. x /\ A.yA.yph)))
1312exbidv 1274 . . . . . . . 8 |- (y = x -> (E.w(w e. y /\ A.yA.yph) <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
1413bibi2d 616 . . . . . . 7 |- (y = x -> ((z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)) <-> (z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))))
1514albidv 1273 . . . . . 6 |- (y = x -> (A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)) <-> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph))))
1615imbi2d 610 . . . . 5 |- (y = x -> ((E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))) <-> (E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))))
1716exbidv 1274 . . . 4 |- (y = x -> (E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))) <-> E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))))
18 axrepnd 4918 . . . . 5 |- E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph)))
19219.3 1027 . . . . . . . . 9 |- (A.y z e. w <-> z e. w)
20 ax-17 968 . . . . . . . . . . . 12 |- (w e. y -> A.z w e. y)
212019.3 1027 . . . . . . . . . . 11 |- (A.z w e. y <-> w e. y)
2221anbi1i 480 . . . . . . . . . 10 |- ((A.z w e. y /\ A.yA.yph) <-> (w e. y /\ A.yA.yph))
2322exbii 1047 . . . . . . . . 9 |- (E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph) <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))
2419, 23bibi12i 608 . . . . . . . 8 |- ((A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph)) <-> (z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)))
2524albii 996 . . . . . . 7 |- (A.z(A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph)) <-> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)))
2625imbi2i 185 . . . . . 6 |- ((E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph))) <-> (E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))))
2726exbii 1047 . . . . 5 |- (E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(A.y z e. w <-> E.w(A.z w e. y /\ A.yA.yph))) <-> E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph))))
2818, 27mpbi 189 . . . 4 |- E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. y /\ A.yA.yph)))
2910, 17, 28chvar 1163 . . 3 |- E.w(E.yA.z(A.yph -> z = y) -> A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
302919.35i 1072 . 2 |- (A.wE.yA.z(A.yph -> z = y) -> E.wA.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)))
31 ax-17 968 . . . . 5 |- (z e. y -> A.w z e. y)
32 hbe1 1012 . . . . 5 |- (E.w(w e. x /\ A.yph) -> A.wE.w(w e. x /\ A.yph))
3331, 32hbbi 1007 . . . 4 |- ((z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)) -> A.w(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
3433hbal 1002 . . 3 |- (A.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)) -> A.wA.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
35 elequ2 1133 . . . . 5 |- (w = y -> (z e. w <-> z e. y))
36 hba1 1000 . . . . . . . . 9 |- (A.yph -> A.yA.yph)
373619.3 1027 . . . . . . . 8 |- (A.yA.yph <-> A.yph)
3837anbi2i 479 . . . . . . 7 |- ((w e. x /\ A.yA.yph) <-> (w e. x /\ A.yph))
3938exbii 1047 . . . . . 6 |- (E.w(w e. x /\ A.yA.yph) <-> E.w(w e. x /\ A.yph))
4039a1i 8 . . . . 5 |- (w = y -> (E.w(w e. x /\ A.yA.yph) <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
4135, 40bibi12d 627 . . . 4 |- (w = y -> ((z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) <-> (z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph))))
4241albidv 1273 . . 3 |- (w = y -> (A.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) <-> A.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph))))
438, 34, 42cbvex 1162 . 2 |- (E.wA.z(z e. w <-> E.w(w e. x /\ A.yA.yph)) <-> E.yA.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
4430, 43sylib 198 1 |- (A.wE.yA.z(A.yph -> z = y) -> E.yA.z(z e. y <-> E.w(w e. x /\ A.yph)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-15 1353  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-reg 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403
Copyright terms: Public domain