Theorem zfcndun 4939

Description: Axiom of Union, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndun	|- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 4920	. 2 |- E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y)
2		elequ2 1133	. . . . . . 7 |- (w = y -> (z e. w <-> z e. y))
3		elequ1 1132	. . . . . . 7 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
4	2, 3	anbi12d 626	. . . . . 6 |- (w = y -> ((z e. w /\ w e. x) <-> (z e. y /\ y e. x)))
5	4	cbvexv 1310	. . . . 5 |- (E.w(z e. w /\ w e. x) <-> E.y(z e. y /\ y e. x))
6	5	imbi1i 186	. . . 4 |- ((E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> (E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
7	6	albii 996	. . 3 |- (A.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> A.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
8	7	exbii 1047	. 2 |- (E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
9	1, 8	mpbir 190	1 |- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-eprel 2821  df-fr 2907

Copyright terms: Public domain