MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmvsca Structured version   Unicode version

Theorem zlmvsca 16795
Description: Scalar multiplication operation of a  ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmbas.w  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmvsca.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
zlmvsca  |-  .x.  =  ( .s `  W )

Proof of Theorem zlmvsca
StepHypRef Expression
1 zlmbas.w . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
3 zlmvsca.2 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
41, 2, 3zlmval 16789 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  (flds  ZZ ) >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ) )
54fveq2d 5724 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( .s `  W )  =  ( .s `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  (flds  ZZ ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
6 ovex 6098 . . . 4  |-  ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  (flds  ZZ ) >. )  e.  _V
7 fvex 5734 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  e.  _V
83, 7eqeltri 2505 . . . 4  |-  .x.  e.  _V
9 vscaid 13584 . . . . 5  |-  .s  = Slot  ( .s `  ndx )
109setsid 13500 . . . 4  |-  ( ( ( G sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  (flds  ZZ )
>. )  e.  _V  /\ 
.x.  e.  _V )  ->  .x.  =  ( .s
`  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  (flds  ZZ ) >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ) ) )
116, 8, 10mp2an 654 . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,  (flds  ZZ ) >. ) sSet  <.
( .s `  ndx ) ,  .x.  >. )
)
125, 11syl6reqr 2486 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  .x.  =  ( .s `  W ) )
139str0 13497 . . 3  |-  (/)  =  ( .s `  (/) )
14 fvprc 5714 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (/) )
153, 14syl5eq 2479 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .x.  =  (/) )
16 fvprc 5714 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( ZMod `  G )  =  (/) )
171, 16syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  W  =  (/) )
1817fveq2d 5724 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( .s `  W )  =  ( .s `  (/) ) )
1913, 15, 183eqtr4a 2493 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .x.  =  ( .s `  W ) )
2012, 19pm2.61i 158 1  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   <.cop 3809   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ZZcz 10274   ndxcnx 13458   sSet csts 13459   ↾s cress 13462  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525  .gcmg 14681  ℂfldccnfld 16695   ZModczlm 16771
This theorem is referenced by:  zlmlmod  16796  zlmassa  16797  clmzlmvsca  19113  nmmulg  24344  cnzh  24346  rezh  24347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-sets 13467  df-vsca 13538  df-zlm 16775
  Copyright terms: Public domain W3C validator