MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlpirlem3 Structured version   Unicode version

Theorem zlpirlem3 16762
Description: Lemma for zlpir 16763. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zlpirlem.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
zlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal `  Z ) )
zlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zlpirlem.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
zlpirlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
zlpirlem3  |-  ( ph  ->  G  ||  X )

Proof of Theorem zlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zsubrg 16744 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 zlpirlem.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  (flds  ZZ )
32subrgrng 15863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e. 
Ring )
41, 3mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
5 zlpirlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal `  Z ) )
6 zsscn 10282 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  CC
7 cnfldbas 16699 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  ( Base ` fld )
82, 7ressbas2 13512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
96, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
10 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  (LIdeal `  Z )  =  (LIdeal `  Z )
119, 10lidlssOLD 16273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal `  Z )
)  ->  I  C_  ZZ )
124, 5, 11syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  C_  ZZ )
13 zlpirlem.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
1412, 13sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
1514zred 10367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
16 inss2 3554 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
17 zlpirlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
18 nnuz 10513 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1916, 18sseqtri 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
20 zlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
212, 5, 20zlpirlem1 16760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
22 infmssuzcl 10551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
2319, 21, 22sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
2417, 23syl5eqel 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( I  i^i  NN ) )
2516, 24sseldi 3338 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
2625nnrpd 10639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
27 modlt 11250 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  <  G )
2815, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  <  G )
2914, 25zmodcld 11259 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  NN0 )
3029nn0red 10267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  RR )
3125nnred 10007 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
3230, 31ltnled 9212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  <  G  <->  -.  G  <_  ( X  mod  G
) ) )
3328, 32mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  <_  ( X  mod  G ) )
3414zcnd 10368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3525nncnd 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
3615, 25nndivred 10040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  /  G
)  e.  RR )
3736flcld 11199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ )
3837zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  CC )
3935, 38mulcld 9100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  e.  CC )
4034, 39negsubd 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4137znegcld 10369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ )
4241zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  CC )
4342, 35mulcomd 9101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
4435, 38mulneg2d 9479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
4543, 44eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
4645oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  =  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G
) ) ) ) )
47 modval 11244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4815, 26, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4940, 46, 483eqtr4rd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) ) )
502, 5, 20, 17zlpirlem2 16761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
51 zex 10283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
52 cnfldmul 16701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x.  =  ( .r ` fld )
532, 52ressmulr 13574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
5451, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  =  ( .r `  Z )
5510, 9, 54lidlmcl 16280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal `  Z ) )  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ  /\  G  e.  I ) )  ->  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
564, 5, 41, 50, 55syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
57 cnfldadd 16700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  =  ( +g  ` fld )
582, 57ressplusg 13563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Z
) )
5951, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  +  =  ( +g  `  Z )
6010, 59lidlacl 16276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal `  Z ) )  /\  ( X  e.  I  /\  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
) )  ->  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) )  e.  I )
614, 5, 13, 56, 60syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  e.  I
)
6249, 61eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  I )
6362adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  I )
64 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  NN )
65 elin 3522 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i 
NN )  <->  ( ( X  mod  G )  e.  I  /\  ( X  mod  G )  e.  NN ) )
6663, 64, 65sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )
67 infmssuzle 10550 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )  ->  sup (
( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
6819, 66, 67sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
6917, 68syl5eqbr 4237 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  G  <_  ( X  mod  G ) )
7033, 69mtand 641 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( X  mod  G )  e.  NN )
71 elnn0 10215 . . . 4  |-  ( ( X  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
7229, 71sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
73 orel1 372 . . 3  |-  ( -.  ( X  mod  G
)  e.  NN  ->  ( ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 )  -> 
( X  mod  G
)  =  0 ) )
7470, 72, 73sylc 58 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  0 )
75 dvdsval3 12848 . . 3  |-  ( ( G  e.  NN  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
7625, 14, 75syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
7774, 76mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  G  ||  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   |_cfl 11193    mod cmo 11242    || cdivides 12844   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   Ringcrg 15652  SubRingcsubrg 15856  LIdealclidl 16234  ℂfldccnfld 16695
This theorem is referenced by:  zlpir  16763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-cnfld 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator