Theorem zmin 6219

Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number.

Assertion

Ref	Expression
zmin	|- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem zmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . 3 |- {z e. ZZ | A <_ z} = {z e. ZZ | A <_ z}
2	1	uzwo3lem1 6216	. 2 |- (A e. RR -> E!x e. {z e. ZZ | A <_ z}A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y)
3		breq2 2623	. . . . . . 7 |- (z = x -> (A <_ z <-> A <_ x))
4	3	elrab 1905	. . . . . 6 |- (x e. {z e. ZZ | A <_ z} <-> (x e. ZZ /\ A <_ x))
5		breq2 2623	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (A <_ z <-> A <_ y))
6	5	elrab 1905	. . . . . . . . 9 |- (y e. {z e. ZZ | A <_ z} <-> (y e. ZZ /\ A <_ y))
7	6	imbi1i 186	. . . . . . . 8 |- ((y e. {z e. ZZ | A <_ z} -> x <_ y) <-> ((y e. ZZ /\ A <_ y) -> x <_ y))
8		impexp 347	. . . . . . . 8 |- (((y e. ZZ /\ A <_ y) -> x <_ y) <-> (y e. ZZ -> (A <_ y -> x <_ y)))
9	7, 8	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((y e. {z e. ZZ | A <_ z} -> x <_ y) <-> (y e. ZZ -> (A <_ y -> x <_ y)))
10	9	ralbii2 1671	. . . . . 6 |- (A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y <-> A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))
11	4, 10	anbi12i 482	. . . . 5 |- ((x e. {z e. ZZ | A <_ z} /\ A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y) <-> ((x e. ZZ /\ A <_ x) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
12		anass 439	. . . . 5 |- (((x e. ZZ /\ A <_ x) /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> (x e. ZZ /\ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))))
13	11, 12	bitr 173	. . . 4 |- ((x e. {z e. ZZ | A <_ z} /\ A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y) <-> (x e. ZZ /\ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))))
14	13	eubii 1387	. . 3 |- (E!x(x e. {z e. ZZ | A <_ z} /\ A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y) <-> E!x(x e. ZZ /\ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))))
15		df-reu 1651	. . 3 |- (E!x e. {z e. ZZ | A <_ z}A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y <-> E!x(x e. {z e. ZZ | A <_ z} /\ A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y))
16		df-reu 1651	. . 3 |- (E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> E!x(x e. ZZ /\ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y))))
17	14, 15, 16	3bitr4r 184	. 2 |- (E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> E!x e. {z e. ZZ | A <_ z}A.y e. {z e. ZZ | A <_ z}x <_ y)
18	2, 17	sylibr 200	1 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  E!weu 1380  A.wral 1645  E!wreu 1647  {crab 1648   class class class wbr 2619  RRcr 5233   <_ cle 5295  ZZcz 5298

This theorem is referenced by:  zmax 6220  zbtwnre 6221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136

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