MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcld Structured version   Unicode version

Theorem zmulcld 10373
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
zaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 zaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 zmulcl 10316 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6073    x. cmul 8987   ZZcz 10274
This theorem is referenced by:  flhalf  11223  quoremz  11228  intfracq  11232  zmodcl  11258  modmul1  11271  eirrlem  12795  dvds2ln  12872  dvdsmod  12898  3dvds  12904  bits0e  12933  bits0o  12934  bitsp1e  12936  bitsp1o  12937  bitsmod  12940  bitscmp  12942  bitsinv1lem  12945  bitsuz  12978  bitsshft  12979  smumullem  12996  smumul  12997  bezoutlem3  13032  bezoutlem4  13033  mulgcd  13038  dvdsmulgcd  13046  mulgcddvds  13096  rpmulgcd2  13097  exprmfct  13102  hashdvds  13156  eulerthlem1  13162  eulerthlem2  13163  prmdiv  13166  prmdiveq  13167  pcpremul  13209  pcqmul  13219  pcaddlem  13249  prmpwdvds  13264  4sqlem5  13302  4sqlem10  13307  4sqlem14  13318  mulgass  14912  odmod  15176  odmulgid  15182  odbezout  15186  gexdvds  15210  odadd1  15455  odadd2  15456  torsubg  15461  ablfacrp  15616  pgpfac1lem2  15625  pgpfac1lem3a  15626  pgpfac1lem3  15627  znunit  16836  znrrg  16838  dyaddisjlem  19479  elqaalem3  20230  aalioulem1  20241  aaliou3lem2  20252  aaliou3lem8  20254  dvdsmulf1o  20971  lgsdirprm  21105  lgsdir  21106  lgsdilem2  21107  lgsdi  21108  lgseisenlem1  21125  lgseisenlem2  21126  lgseisenlem3  21127  lgseisenlem4  21128  lgsquadlem1  21130  lgsquad2lem1  21134  lgsquad3  21137  2sqlem3  21142  2sqlem4  21143  2sqblem  21153  gxmodid  21859  qqhghm  24364  qqhrhm  24365  dvdspw  25361  pellexlem5  26887  pellexlem6  26888  pell1234qrmulcl  26909  congmul  27023  bezoutr  27041  jm2.18  27050  jm2.19lem1  27051  jm2.19lem2  27052  jm2.19lem3  27053  jm2.19lem4  27054  jm2.22  27057  jm2.23  27058  jm2.20nn  27059  jm2.25  27061  jm2.15nn0  27065  jm2.16nn0  27066  jm2.27c  27069  jm3.1lem3  27081  jm3.1  27082  expdiophlem1  27083  wallispilem4  27784  stirlinglem3  27792  stirlinglem7  27796  stirlinglem10  27799  stirlinglem11  27800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275
  Copyright terms: Public domain W3C validator