MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcld Unicode version

Theorem zmulcld 10170
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
zaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 zaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 zmulcl 10113 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1701  (class class class)co 5900    x. cmul 8787   ZZcz 10071
This theorem is referenced by:  flhalf  11001  quoremz  11006  intfracq  11010  zmodcl  11036  modmul1  11049  eirrlem  12529  dvds2ln  12606  dvdsmod  12632  3dvds  12638  bits0e  12667  bits0o  12668  bitsp1e  12670  bitsp1o  12671  bitsmod  12674  bitscmp  12676  bitsinv1lem  12679  bitsuz  12712  bitsshft  12713  smumullem  12730  smumul  12731  bezoutlem3  12766  bezoutlem4  12767  mulgcd  12772  dvdsmulgcd  12780  mulgcddvds  12830  rpmulgcd2  12831  exprmfct  12836  hashdvds  12890  eulerthlem1  12896  eulerthlem2  12897  prmdiv  12900  prmdiveq  12901  pcpremul  12943  pcqmul  12953  pcaddlem  12983  prmpwdvds  12998  4sqlem5  13036  4sqlem10  13041  4sqlem14  13052  mulgass  14646  odmod  14910  odmulgid  14916  odbezout  14920  gexdvds  14944  odadd1  15189  odadd2  15190  torsubg  15195  ablfacrp  15350  pgpfac1lem2  15359  pgpfac1lem3a  15360  pgpfac1lem3  15361  znunit  16573  znrrg  16575  dyaddisjlem  19003  elqaalem3  19754  aalioulem1  19765  aaliou3lem2  19776  aaliou3lem8  19778  dvdsmulf1o  20487  lgsdirprm  20621  lgsdir  20622  lgsdilem2  20623  lgsdi  20624  lgseisenlem1  20641  lgseisenlem2  20642  lgseisenlem3  20643  lgseisenlem4  20644  lgsquadlem1  20646  lgsquad2lem1  20650  lgsquad3  20653  2sqlem3  20658  2sqlem4  20659  2sqblem  20669  gxmodid  20999  qqhghm  23567  qqhrhm  23568  dvdspw  24488  pellexlem5  26066  pellexlem6  26067  pell1234qrmulcl  26088  congmul  26202  bezoutr  26220  jm2.18  26229  jm2.19lem1  26230  jm2.19lem2  26231  jm2.19lem3  26232  jm2.19lem4  26233  jm2.22  26236  jm2.23  26237  jm2.20nn  26238  jm2.25  26240  jm2.15nn0  26244  jm2.16nn0  26245  jm2.27c  26248  jm3.1lem3  26260  jm3.1  26261  expdiophlem1  26262  wallispilem4  26965  stirlinglem3  26973  stirlinglem7  26977  stirlinglem10  26980  stirlinglem11  26981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-ltxr 8917  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072
  Copyright terms: Public domain W3C validator