HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem zmulclt 6182
Description: Closure of multiplication of integers.
Assertion
Ref Expression
zmulclt |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M x. N) e. ZZ)
Proof of Theorem zmulclt
StepHypRef Expression
1 nn0mulclt 6125 . . . . . . . . 9 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M x. N) e. NN0)
21orcd 272 . . . . . . . 8 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))
32a1i 8 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
4 axmulrcl 5286 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M x. N) e. RR)
53, 4jctild 603 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
6 mulneg1t 5463 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uM x. N) = -u(M x. N))
7 recnt 5325 . . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> M e. CC)
8 recnt 5325 . . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> N e. CC)
96, 7, 8syl2an 456 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uM x. N) = -u(M x. N))
109eleq1d 1543 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM x. N) e. NN0 <-> -u(M x. N) e. NN0))
11 nn0mulclt 6125 . . . . . . . . 9 |- ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> (-uM x. N) e. NN0)
1210, 11syl5bi 208 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> -u(M x. N) e. NN0))
13 olc 268 . . . . . . . 8 |- (-u(M x. N) e. NN0 -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))
1412, 13syl6 22 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
1514, 4jctild 603 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
16 mulneg2t 5464 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (M x. -uN) = -u(M x. N))
1716, 7, 8syl2an 456 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M x. -uN) = -u(M x. N))
1817eleq1d 1543 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M x. -uN) e. NN0 <-> -u(M x. N) e. NN0))
19 nn0mulclt 6125 . . . . . . . . 9 |- ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (M x. -uN) e. NN0)
2018, 19syl5bi 208 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> -u(M x. N) e. NN0))
2120, 13syl6 22 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
2221, 4jctild 603 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
23 mul2negt 5466 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uM x. -uN) = (M x. N))
2423, 7, 8syl2an 456 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uM x. -uN) = (M x. N))
2524eleq1d 1543 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM x. -uN) e. NN0 <-> (M x. N) e. NN0))
26 nn0mulclt 6125 . . . . . . . . 9 |- ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (-uM x. -uN) e. NN0)
2725, 26syl5bi 208 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (M x. N) e. NN0))
28 orc 269 . . . . . . . 8 |- ((M x. N) e. NN0 -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))
2927, 28syl6 22 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
3029, 4jctild 603 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
315, 15, 22, 30ccased 758 . . . . 5 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
32 elznn0 6151 . . . . 5 |- ((M x. N) e. ZZ <-> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
3331, 32syl6ibr 213 . . . 4 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)) -> (M x. N) e. ZZ))
3433imp 350 . . 3 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ ((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0))) -> (M x. N) e. ZZ)
3534an4s 510 . 2 |- (((M e. RR /\ (M e. NN0 \/ -uM e. NN0)) /\ (N e. RR /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0))) -> (M x. N) e. ZZ)
36 elznn0 6151 . 2 |- (M e. ZZ <-> (M e. RR /\ (M e. NN0 \/ -uM e. NN0)))
37 elznn0 6151 . 2 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)))
3835, 36, 37syl2anb 457 1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M x. N) e. ZZ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245   x. cmul 5251  -ucneg 5305  NN0cn0 5309  ZZcz 5310
This theorem is referenced by:  msqznn 6198  quoremz 6253  intfracq 6255  qaddclt 6270  qmulclt 6272  qrecclt 6274  zexpclt 6579  eirrlem2 7390  znnen 7503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138
Copyright terms: Public domain