MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcld Unicode version

Theorem znegcld 10121
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
znegcld  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  ZZ )

Proof of Theorem znegcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 znegcl 10057 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  e.  ZZ )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1686   -ucneg 9040   ZZcz 10026
This theorem is referenced by:  zsupss  10309  ceicl  10957  modnegd  11006  expaddzlem  11147  climshft2  12058  fsumshftm  12245  eftlub  12391  dvdsadd2b  12573  bitscmp  12631  bitsf1  12639  bitsres  12666  modgcd  12717  pcneg  12928  gznegcl  12984  gzcjcl  12985  4sqlem10  12996  mulgdirlem  14593  mulgdir  14594  subgmulg  14637  zlpirlem3  16445  aannenlem1  19710  geolim3  19721  aaliou3lem1  19724  aaliou3lem2  19725  aaliou3lem3  19726  aaliou3lem5  19729  aaliou3lem6  19730  aaliou3lem7  19731  ulmshft  19771  sineq0  19891  wilthlem1  20308  lgseisenlem2  20591  2sqlem4  20608  padicabvcxp  20783  gxmul  20947  gxmodid  20948  ltflcei  24930  cntotbnd  26531  pellexlem5  26929  pell1234qrreccl  26950  pellfund14  26994  congsub  27068  acongeq  27081  dvdsacongtr  27082  jm2.19  27097  jm2.25  27103  jm2.26lem3  27105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-z 10027
  Copyright terms: Public domain W3C validator