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Theorem znidomb 16847
Description: The ℤ/nℤ structure is a domain (and hence a field) precisely when  n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
znidomb  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10317 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  e.  ZZ )
3 nnz 10308 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ZZ )
5 hash2 11679 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
6 isidom 16369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
76simprbi 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
8 domnnzr 16360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
10 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1110isnzr2 16339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. NzRing 
<->  ( Y  e.  Ring  /\  2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
1211simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. NzRing  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
139, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. IDomn  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
1413adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
15 df2o2 6741 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
16 prfi 7384 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  Fin
1715, 16eqeltri 2508 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  Fin
18 fvex 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
19 hashdom 11658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  ( Base `  Y )  e.  _V )  ->  (
( # `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
2017, 18, 19mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
2114, 20sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) ) )
225, 21syl5eqbrr 4249 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  ( # `  ( Base `  Y ) ) )
23 zntos.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2423, 10znhash 16844 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  Y
) )  =  N )
2524adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  (
# `  ( Base `  Y ) )  =  N )
2622, 25breqtrd 4239 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  N )
27 eluz2 10499 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
282, 4, 26, 27syl3anbrc 1139 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) )
29 nncn 10013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
3029ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  CC )
31 nncn 10013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
3231ad2antrl 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  CC )
33 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
3433ad2antrl 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  =/=  0 )
3530, 32, 34divcan1d 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  x )  x.  x )  =  N )
3635fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  N )
)
377ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e. Domn )
38 domnrng 16361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e.  Ring )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e.  Ring )
40 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
41 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
4240, 41zrhrhm 16798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
4339, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
44 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  ||  N
)
45 nnz 10308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
4645ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
473ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
48 dvdsval2 12860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
4946, 34, 47, 48syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
5044, 49mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  ZZ )
51 zsubrg 16757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
5240subrgbas 15882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
54 cnfldmul 16714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  =  ( .r ` fld )
5540, 54ressmulr 13587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) ) )
5651, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) )
57 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
5853, 56, 57rhmmul 15833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  /\  ( N  /  x )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  ( ( N  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
5943, 50, 46, 58syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
60 iddvds 12868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  N )
6147, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  ||  N
)
62 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
6362ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
64 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
6523, 41, 64zndvds0 16836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  N
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  N
) )
6663, 47, 65syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  N )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  N
) )
6761, 66mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  N )  =  ( 0g `  Y ) )
6836, 59, 673eqtr3d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
6953, 10rhmf 15832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZRHom `  Y )  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y
) )
7043, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
7170, 50ffvelrnd 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  e.  (
Base `  Y )
)
7270, 46ffvelrnd 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)
7310, 57, 64domneq0 16362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e. Domn  /\  (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7437, 71, 72, 73syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7568, 74mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) )
7623, 41, 64zndvds0 16836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  x ) ) )
7763, 50, 76syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( N  /  x ) ) )
78 nnre 10012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
7978ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  RR )
80 nnre 10012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
8180ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  RR )
82 nngt0 10034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
8382ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  N )
84 nngt0 10034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  0  <  x )
8584ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  x )
8679, 81, 83, 85divgt0d 9951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  ( N  /  x ) )
87 elnnz 10297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  /  x )  e.  NN  <->  ( ( N  /  x )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  x
) ) )
8850, 86, 87sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  NN )
89 dvdsle 12900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  x
)  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
9047, 88, 89syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
91 1re 9095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  1  e.  RR )
93 0lt1 9555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  1 )
95 lediv2 9905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( x  <_  1  <->  ( N  /  1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
9681, 85, 92, 94, 79, 83, 95syl222anc 1201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  ( N  / 
1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
97 nnle1eq1 10033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  <_  1  <->  x  = 
1 ) )
9897ad2antrl 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  x  =  1
) )
9930div1d 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  1 )  =  N )
10099breq1d 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  1 )  <_ 
( N  /  x
)  <->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
10196, 98, 1003bitr3rd 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  <_  ( N  /  x
)  <->  x  =  1
) )
10290, 101sylibd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  x  = 
1 ) )
10377, 102sylbid 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  x  = 
1 ) )
10423, 41, 64zndvds0 16836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  x
) )
10563, 46, 104syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  x
) )
106 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
107106ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
108 dvdseq 12902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( x  ||  N  /\  N  ||  x ) )  ->  x  =  N )
109108expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  ||  N )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
110107, 63, 44, 109syl21anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
111105, 110sylbid 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  ->  x  =  N ) )
112103, 111orim12d 813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) )  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
11375, 112mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) )
114113expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
115114ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  A. x  e.  NN  (
x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
116 isprm2 13092 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  NN  ( x  ||  N  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) ) )
11728, 115, 116sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  Prime )
118117ex 425 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  ->  N  e. 
Prime ) )
11923znfld 16846 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
120 fldidom 16370 . . 3  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
121119, 120syl 16 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. IDomn
)
122118, 121impbid1 196 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   2oc2o 6721    ~<_ cdom 7110   Fincfn 7112   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   #chash 11623    || cdivides 12857   Primecprime 13084   Basecbs 13474   ↾s cress 13475   .rcmulr 13535   0gc0g 13728   Ringcrg 15665   CRingccrg 15666   RingHom crh 15822  Fieldcfield 15841  SubRingcsubrg 15869  NzRingcnzr 16333  Domncdomn 16345  IDomncidom 16346  ℂfldccnfld 16708   ZRHomczrh 16783  ℤ/nczn 16786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-imas 13739  df-divs 13740  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-eqg 14948  df-ghm 15009  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-rnghom 15824  df-drng 15842  df-field 15843  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251  df-rsp 16252  df-2idl 16308  df-nzr 16334  df-rlreg 16348  df-domn 16349  df-idom 16350  df-cnfld 16709  df-zrh 16787  df-zn 16790
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