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Theorem znidomb 16571
Description: The ℤ/nℤ structure is a domain (and hence a field) precisely when  n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
znidomb  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10101 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  e.  ZZ )
3 nnz 10092 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ZZ )
5 hash2 11418 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
6 isidom 16094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
76simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
8 domnnzr 16085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
10 eqid 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1110isnzr2 16064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. NzRing 
<->  ( Y  e.  Ring  /\  2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
1211simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. NzRing  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
139, 12syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. IDomn  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
1413adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
15 df2o2 6535 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
16 prfi 7176 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  Fin
1715, 16eqeltri 2386 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  Fin
18 fvex 5577 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
19 hashdom 11408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  ( Base `  Y )  e.  _V )  ->  (
( # `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
2017, 18, 19mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
2114, 20sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) ) )
225, 21syl5eqbrr 4094 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  ( # `  ( Base `  Y ) ) )
23 zntos.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2423, 10znhash 16568 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  Y
) )  =  N )
2524adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  (
# `  ( Base `  Y ) )  =  N )
2622, 25breqtrd 4084 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  N )
27 eluz2 10283 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
282, 4, 26, 27syl3anbrc 1136 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) )
29 nncn 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  CC )
31 nncn 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
3231ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  CC )
33 nnne0 9823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  =/=  0 )
3530, 32, 34divcan1d 9582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  x )  x.  x )  =  N )
3635fveq2d 5567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  N )
)
377ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e. Domn )
38 domnrng 16086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e.  Ring )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e.  Ring )
40 eqid 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
41 eqid 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
4240, 41zrhrhm 16522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
4339, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
44 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  ||  N
)
45 nnz 10092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
4645ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
473ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
48 dvdsval2 12581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
4946, 34, 47, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
5044, 49mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  ZZ )
51 zsubrg 16481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
5240subrgbas 15603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
54 cnfldmul 16438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  =  ( .r ` fld )
5540, 54ressmulr 13308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) ) )
5651, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) )
57 eqid 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
5853, 56, 57rhmmul 15554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  /\  ( N  /  x )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  ( ( N  /  x )  x.  x ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
5943, 50, 46, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
60 iddvds 12589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  N )
6147, 60syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  ||  N
)
62 nnnn0 10019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
6362ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
64 eqid 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
6523, 41, 64zndvds0 16560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  N
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  N
) )
6663, 47, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  N )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  N
) )
6761, 66mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  N )  =  ( 0g `  Y ) )
6836, 59, 673eqtr3d 2356 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
6953, 10rhmf 15553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZRHom `  Y )  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y
) )
7043, 69syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
71 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  ( N  /  x )  e.  ZZ )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  e.  ( Base `  Y
) )
7270, 50, 71syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  e.  (
Base `  Y )
)
73 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  e.  ( Base `  Y
) )
7470, 46, 73syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)
7510, 57, 64domneq0 16087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e. Domn  /\  (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7637, 72, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7768, 76mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) )
7823, 41, 64zndvds0 16560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  x ) ) )
7963, 50, 78syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( N  /  x ) ) )
80 nnre 9798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
8180ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  RR )
82 nnre 9798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
8382ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  RR )
84 nngt0 9820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
8584ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  N )
86 nngt0 9820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  0  <  x )
8786ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  x )
8881, 83, 85, 87divgt0d 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  ( N  /  x ) )
89 elnnz 10081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  /  x )  e.  NN  <->  ( ( N  /  x )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  x
) ) )
9050, 88, 89sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  NN )
91 dvdsle 12621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  x
)  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
9247, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
93 1re 8882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
9493a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  1  e.  RR )
95 0lt1 9341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
9695a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  1 )
97 lediv2 9691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( x  <_  1  <->  ( N  /  1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
9883, 87, 94, 96, 81, 85, 97syl222anc 1198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  ( N  / 
1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
99 nnle1eq1 9819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  <_  1  <->  x  = 
1 ) )
10099ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  x  =  1
) )
10130div1d 9573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  1 )  =  N )
102101breq1d 4070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  1 )  <_ 
( N  /  x
)  <->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
10398, 100, 1023bitr3rd 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  <_  ( N  /  x
)  <->  x  =  1
) )
10492, 103sylibd 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  x  = 
1 ) )
10579, 104sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  x  = 
1 ) )
10623, 41, 64zndvds0 16560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  x
) )
10763, 46, 106syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  x
) )
108 nnnn0 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
109108ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
110 dvdseq 12623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( x  ||  N  /\  N  ||  x ) )  ->  x  =  N )
111110expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  ||  N )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
112109, 63, 44, 111syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
113107, 112sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  ->  x  =  N ) )
114105, 113orim12d 811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) )  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
11577, 114mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) )
116115expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
117116ralrimiva 2660 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  A. x  e.  NN  (
x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
118 isprm2 12813 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  NN  ( x  ||  N  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) ) )
11928, 117, 118sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  Prime )
120119ex 423 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  ->  N  e. 
Prime ) )
12123znfld 16570 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
122 fldidom 16095 . . 3  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
123121, 122syl 15 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. IDomn
)
124120, 123impbid1 194 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   _Vcvv 2822   (/)c0 3489   {csn 3674   {cpr 3675   class class class wbr 4060   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   2oc2o 6515    ~<_ cdom 6904   Fincfn 6906   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    x. cmul 8787    < clt 8912    <_ cle 8913    / cdiv 9468   NNcn 9791   2c2 9840   NN0cn0 10012   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   #chash 11384    || cdivides 12578   Primecprime 12805   Basecbs 13195   ↾s cress 13196   .rcmulr 13256   0gc0g 13449   Ringcrg 15386   CRingccrg 15387   RingHom crh 15543  Fieldcfield 15562  SubRingcsubrg 15590  NzRingcnzr 16058  Domncdomn 16070  IDomncidom 16071  ℂfldccnfld 16432   ZRHomczrh 16507  ℤ/nczn 16510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-dvds 12579  df-gcd 12733  df-prm 12806  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-0g 13453  df-imas 13460  df-divs 13461  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-nsg 14668  df-eqg 14669  df-ghm 14730  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-cring 15390  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-rnghom 15545  df-drng 15563  df-field 15564  df-subrg 15592  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-sra 15974  df-rgmod 15975  df-lidl 15976  df-rsp 15977  df-2idl 16033  df-nzr 16059  df-rlreg 16073  df-domn 16074  df-idom 16075  df-cnfld 16433  df-zrh 16511  df-zn 16514
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