MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Structured version   Unicode version

Theorem znnen 12812
Description: The set of integers and the set of natural numbers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen  |-  ZZ  ~~  NN

Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 7601 . . . . . 6  |-  om  e.  On
2 nnenom 11319 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
32ensymi 7157 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
4 isnumi 7833 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
51, 3, 4mp2an 654 . . . . 5  |-  NN  e.  dom  card
6 xpnum 7838 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  NN  e.  dom  card )  ->  ( NN  X.  NN )  e.  dom  card )
75, 5, 6mp2an 654 . . . 4  |-  ( NN 
X.  NN )  e. 
dom  card
8 subf 9307 . . . . . . 7  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
9 ffun 5593 . . . . . . 7  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  Fun  -  )
108, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  -
11 nnsscn 10005 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  CC
12 xpss12 4981 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  NN  C_  CC )  ->  ( NN  X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC ) )
1311, 11, 12mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  CC )
148fdmi 5596 . . . . . . 7  |-  dom  -  =  ( CC  X.  CC )
1513, 14sseqtr4i 3381 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  NN )  C_  dom  -
16 fores 5662 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  -  /\  ( NN  X.  NN )  C_  dom  -  )  ->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) ) )
1710, 15, 16mp2an 654 . . . . 5  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> (  -  " ( NN  X.  NN ) )
18 dfz2 10299 . . . . . 6  |-  ZZ  =  (  -  " ( NN  X.  NN ) )
19 foeq3 5651 . . . . . 6  |-  ( ZZ  =  (  -  "
( NN  X.  NN ) )  ->  (
(  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  <->  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> (  -  "
( NN  X.  NN ) ) )
2117, 20mpbir 201 . . . 4  |-  (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN )
-onto-> ZZ
22 fodomnum 7938 . . . 4  |-  ( ( NN  X.  NN )  e.  dom  card  ->  ( (  -  |`  ( NN  X.  NN ) ) : ( NN  X.  NN ) -onto-> ZZ  ->  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN ) ) )
237, 21, 22mp2 9 . . 3  |-  ZZ  ~<_  ( NN 
X.  NN )
24 xpnnen 12808 . . 3  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
25 domentr 7166 . . 3  |-  ( ( ZZ  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ZZ  ~<_  NN )
2623, 24, 25mp2an 654 . 2  |-  ZZ  ~<_  NN
27 zex 10291 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
28 nnssz 10301 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
29 ssdomg 7153 . . 3  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( NN  C_  ZZ  ->  NN  ~<_  ZZ ) )
3027, 28, 29mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  ZZ
31 sbth 7227 . 2  |-  ( ( ZZ  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  ZZ )  ->  ZZ  ~~  NN )
3226, 30, 31mp2an 654 1  |-  ZZ  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   Oncon0 4581   omcom 4845    X. cxp 4876   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881   Fun wfun 5448   -->wf 5450   -onto->wfo 5452    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107   cardccrd 7822   CCcc 8988    - cmin 9291   NNcn 10000   ZZcz 10282
This theorem is referenced by:  qnnen  12813  odinf  15199  odhash  15208  cygctb  15501  iscmet3  19246  dyadmbl  19492  mbfsup  19556  dya2iocct  24630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator