Theorem znnenlem 7502

Description: Lemma for znnen 7503.

Assertion

Ref	Expression
znnenlem	|- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (x = y <-> (2 x. x) = ((-u2 x. y) + 1)))

Proof of Theorem znnenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.1 678	. . 3 |- ((x =/= y /\ (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1)) -> (x =/= y <-> (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1)))
2		ltnet 5528	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ x e. RR /\ y < x) -> x =/= y)
3		0re 5452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
4		ltnlet 5523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ 0 e. RR) -> (y < 0 <-> -. 0 <_ y))
5	3, 4	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. RR -> (y < 0 <-> -. 0 <_ y))
6	5	adantr 391	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y < 0 <-> -. 0 <_ y))
7	6	anbi1d 619	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((y < 0 /\ 0 <_ x) <-> (-. 0 <_ y /\ 0 <_ x)))
8		ltletrt 5536	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. RR /\ 0 e. RR /\ x e. RR) -> ((y < 0 /\ 0 <_ x) -> y < x))
9	3, 8	mp3an2 906	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((y < 0 /\ 0 <_ x) -> y < x))
10	7, 9	sylbird 205	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((-. 0 <_ y /\ 0 <_ x) -> y < x))
11	10	ancomsd 439	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) -> y < x))
12	11	3impia 832	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ x e. RR /\ (0 <_ x /\ -. 0 <_ y)) -> y < x)
13	2, 12	syld3an3 872	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ x e. RR /\ (0 <_ x /\ -. 0 <_ y)) -> x =/= y)
14	13	3com12 839	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ y e. RR /\ (0 <_ x /\ -. 0 <_ y)) -> x =/= y)
15	14	3expia 837	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) -> x =/= y))
16		zret 6141	. . . . 5 |- (x e. ZZ -> x e. RR)
17		zret 6141	. . . . 5 |- (y e. ZZ -> y e. RR)
18	15, 16, 17	syl2an 456	. . . 4 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> ((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) -> x =/= y))
19	18	impcom 351	. . 3 |- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> x =/= y)
20		zneo 6202	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ -uy e. ZZ) -> (2 x. x) =/= ((2 x. -uy) + 1))
21		znegclt 6165	. . . . . 6 |- (y e. ZZ -> -uy e. ZZ)
22	20, 21	sylan2 453	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (2 x. x) =/= ((2 x. -uy) + 1))
23		zcnt 6142	. . . . . . . . 9 |- (y e. ZZ -> y e. CC)
24		2cn 5982	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
25		mulneg12t 5465	. . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ y e. CC) -> (-u2 x. y) = (2 x. -uy))
26	24, 25	mpan 697	. . . . . . . . 9 |- (y e. CC -> (-u2 x. y) = (2 x. -uy))
27	23, 26	syl 10	. . . . . . . 8 |- (y e. ZZ -> (-u2 x. y) = (2 x. -uy))
28	27	adantl 390	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (-u2 x. y) = (2 x. -uy))
29	28	opreq1d 3981	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> ((-u2 x. y) + 1) = ((2 x. -uy) + 1))
30	29	neeq2d 1598	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> ((2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1) <-> (2 x. x) =/= ((2 x. -uy) + 1)))
31	22, 30	mpbird 196	. . . 4 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1))
32	31	adantl 390	. . 3 |- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1))
33	1, 19, 32	sylanc 473	. 2 |- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (x =/= y <-> (2 x. x) =/= ((-u2 x. y) + 1)))
34	33	necon4bid 1633	1 |- (((0 <_ x /\ -. 0 <_ y) /\ (x e. ZZ /\ y e. ZZ)) -> (x = y <-> (2 x. x) = ((-u2 x. y) + 1)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251  -ucneg 5305   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  2c2 5963

This theorem is referenced by:  znnen 7503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138

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