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Theorem znunit 16519
Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znunit.u  |-  U  =  (Unit `  Y )
znunit.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znunit  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  e.  U  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )

Proof of Theorem znunit
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
21zncrng 16500 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  Y  e.  CRing )
4 znunit.u . . . 4  |-  U  =  (Unit `  Y )
5 eqid 2285 . . . 4  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
6 eqid 2285 . . . 4  |-  ( ||r `  Y
)  =  ( ||r `  Y
)
74, 5, 6crngunit 15446 . . 3  |-  ( Y  e.  CRing  ->  ( ( L `  A )  e.  U  <->  ( L `  A ) ( ||r `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
83, 7syl 15 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  e.  U  <->  ( L `  A ) ( ||r `
 Y ) ( 1r `  Y ) ) )
9 eqid 2285 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
10 znunit.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
111, 9, 10znzrhfo 16503 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y ) )
13 fof 5453 . . . . 5  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
1412, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
15 ffvelrn 5665 . . . 4  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
) )
1614, 15sylancom 648 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
17 eqid 2285 . . . 4  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
189, 6, 17dvdsr2 15431 . . 3  |-  ( ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  A )
( ||r `
 Y ) ( 1r `  Y )  <->  E. x  e.  ( Base `  Y ) ( x ( .r `  Y ) ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
1916, 18syl 15 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A ) ( ||r `  Y
) ( 1r `  Y )  <->  E. x  e.  ( Base `  Y
) ( x ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
20 forn 5456 . . . . . 6  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  ran  L  =  ( Base `  Y
) )
2112, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ran  L  =  (
Base `  Y )
)
2221rexeqdv 2745 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e. 
ran  L ( x ( .r `  Y
) ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
)  <->  E. x  e.  (
Base `  Y )
( x ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
23 ffn 5391 . . . . 5  |-  ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  ->  L  Fn  ZZ )
24 oveq1 5867 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( L `  n )  ->  (
x ( .r `  Y ) ( L `
 A ) )  =  ( ( L `
 n ) ( .r `  Y ) ( L `  A
) ) )
2524eqeq1d 2293 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( L `  n )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y )  <->  ( ( L `  n )
( .r `  Y
) ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
) ) )
2625rexrn 5669 . . . . 5  |-  ( L  Fn  ZZ  ->  ( E. x  e.  ran  L ( x ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y )  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( L `
 n ) ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
2714, 23, 263syl 18 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e. 
ran  L ( x ( .r `  Y
) ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( L `  n ) ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
2822, 27bitr3d 246 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  Y
) ( x ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y )  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( L `  n ) ( .r
`  Y ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
29 crngrng 15353 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
303, 29syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  Y  e.  Ring )
31 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
3231, 10zrhrhm 16468 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
3330, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
3433adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
35 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
36 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
37 zsubrg 16427 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
3831subrgbas 15556 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
3937, 38ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
40 zex 10035 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
41 cnfldmul 16387 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( .r ` fld )
4231, 41ressmulr 13263 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) ) )
4340, 42ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) )
4439, 43, 17rhmmul 15507 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  /\  n  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( n  x.  A ) )  =  ( ( L `  n ) ( .r
`  Y ) ( L `  A ) ) )
4534, 35, 36, 44syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( n  x.  A
) )  =  ( ( L `  n
) ( .r `  Y ) ( L `
 A ) ) )
4630adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  Y  e.  Ring )
4710, 5zrh1 16469 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  Y
) )
4846, 47syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( L ` 
1 )  =  ( 1r `  Y ) )
4945, 48eqeq12d 2299 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( n  x.  A ) )  =  ( L `  1
)  <->  ( ( L `
 n ) ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
50 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN0 )
5135, 36zmulcld 10125 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  x.  A )  e.  ZZ )
52 1z 10055 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
5352a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
541, 10zndvds 16505 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( n  x.  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  ( n  x.  A
) )  =  ( L `  1 )  <-> 
N  ||  ( (
n  x.  A )  -  1 ) ) )
5550, 51, 53, 54syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( L `
 ( n  x.  A ) )  =  ( L `  1
)  <->  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )
5649, 55bitr3d 246 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( L `  n ) ( .r `  Y
) ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
)  <->  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )
5756rexbidva 2562 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( L `
 n ) ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y )  <->  E. n  e.  ZZ  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) ) )
58 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
59 nn0z 10048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
61 gcddvds 12696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  N )  ||  A  /\  ( A  gcd  N ) 
||  N ) )
6258, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( A  gcd  N )  ||  A  /\  ( A  gcd  N ) 
||  N ) )
6362simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  A )
6458, 60gcdcld 12699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  e.  NN0 )
6564nn0zd 10117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  e.  ZZ )
6635adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
67 dvdsmultr2 12566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  N
)  ||  A  ->  ( A  gcd  N ) 
||  ( n  x.  A ) ) )
6865, 66, 58, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( A  gcd  N )  ||  A  -> 
( A  gcd  N
)  ||  ( n  x.  A ) ) )
6963, 68mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  ( n  x.  A ) )
7051adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( n  x.  A
)  e.  ZZ )
7152a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
1  e.  ZZ )
7262simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  N )
73 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) )
74 peano2zm 10064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  x.  A )  e.  ZZ  ->  (
( n  x.  A
)  -  1 )  e.  ZZ )
7570, 74syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( n  x.  A )  -  1 )  e.  ZZ )
76 dvdstr 12564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( n  x.  A
)  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( A  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) )  ->  ( A  gcd  N )  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) ) )
7765, 60, 75, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( A  gcd  N )  ||  N  /\  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) )  ->  ( A  gcd  N )  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) ) )
7872, 73, 77mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  ( (
n  x.  A )  -  1 ) )
79 dvdssub2 12568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  gcd  N )  e.  ZZ  /\  ( n  x.  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  gcd  N
)  ||  ( (
n  x.  A )  -  1 ) )  ->  ( ( A  gcd  N )  ||  ( n  x.  A
)  <->  ( A  gcd  N )  ||  1 ) )
8065, 70, 71, 78, 79syl31anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( A  gcd  N )  ||  ( n  x.  A )  <->  ( A  gcd  N )  ||  1
) )
8169, 80mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  ||  1 )
82 dvds1 12579 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  gcd  N )  e.  NN0  ->  ( ( A  gcd  N ) 
||  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
8364, 82syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( A  gcd  N )  ||  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
8481, 83mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 ) ) )  -> 
( A  gcd  N
)  =  1 )
8584expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( ( n  x.  A )  -  1 )  ->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
8685rexlimdva 2669 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 )  ->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
87 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
8859adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
89 bezout 12723 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( A  gcd  N )  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( A  gcd  N )  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) )
91 eqeq1 2291 . . . . . . 7  |-  ( ( A  gcd  N )  =  1  ->  (
( A  gcd  N
)  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) )  <->  1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) ) )
92912rexbidv 2588 . . . . . 6  |-  ( ( A  gcd  N )  =  1  ->  ( E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  ( A  gcd  N )  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) )  <->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m
) ) ) )
9390, 92syl5ibcom 211 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  N )  =  1  ->  E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m
) ) ) )
9459ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
95 dvdsmul1 12552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  m ) )
9694, 95sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  m
) )
97 zmulcl 10068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  m
)  e.  ZZ )
9894, 97sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  m )  e.  ZZ )
99 dvdsnegb 12548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  x.  m
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( N  x.  m
)  <->  N  ||  -u ( N  x.  m )
) )
10094, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( N  x.  m )  <->  N  ||  -u ( N  x.  m )
) )
10196, 100mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  -u ( N  x.  m
) )
10236adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
103102zcnd 10120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
104 zcn 10031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
105104ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
106103, 105mulcomd 8858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  n )  =  ( n  x.  A ) )
107106oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) )  =  ( ( n  x.  A )  +  ( N  x.  m
) ) )
108105, 103mulcld 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
n  x.  A )  e.  CC )
10998zcnd 10120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  m )  e.  CC )
110108, 109subnegd 9166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( n  x.  A
)  -  -u ( N  x.  m )
)  =  ( ( n  x.  A )  +  ( N  x.  m ) ) )
111107, 110eqtr4d 2320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) )  =  ( ( n  x.  A )  -  -u ( N  x.  m
) ) )
112111oveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( n  x.  A
)  -  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) )  =  ( ( n  x.  A )  -  ( ( n  x.  A )  -  -u ( N  x.  m )
) ) )
113109negcld 9146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u ( N  x.  m )  e.  CC )
114108, 113nncand 9164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( n  x.  A
)  -  ( ( n  x.  A )  -  -u ( N  x.  m ) ) )  =  -u ( N  x.  m ) )
115112, 114eqtrd 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( n  x.  A
)  -  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) )  =  -u ( N  x.  m ) )
116101, 115breqtrrd 4051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( n  x.  A )  -  (
( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) ) ) )
117 oveq2 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m
) )  ->  (
( n  x.  A
)  -  1 )  =  ( ( n  x.  A )  -  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) ) )
118117breq2d 4037 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m
) )  ->  ( N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 )  <->  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) ) ) ) )
119116, 118syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1  =  ( ( A  x.  n )  +  ( N  x.  m ) )  ->  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) ) )
120119rexlimdva 2669 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( E. m  e.  ZZ  1  =  ( ( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) )  ->  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 ) ) )
121120reximdva 2657 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  E. m  e.  ZZ  1  =  ( ( A  x.  n
)  +  ( N  x.  m ) )  ->  E. n  e.  ZZ  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) ) )
12293, 121syld 40 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  N )  =  1  ->  E. n  e.  ZZ  N  ||  ( ( n  x.  A )  - 
1 ) ) )
12386, 122impbid 183 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ZZ  N  ||  (
( n  x.  A
)  -  1 )  <-> 
( A  gcd  N
)  =  1 ) )
12428, 57, 1233bitrd 270 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  Y
) ( x ( .r `  Y ) ( L `  A
) )  =  ( 1r `  Y )  <-> 
( A  gcd  N
)  =  1 ) )
1258, 19, 1243bitrd 270 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  e.  U  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   E.wrex 2546   _Vcvv 2790   class class class wbr 4025   ran crn 4692    Fn wfn 5252   -->wf 5253   -onto->wfo 5255   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    - cmin 9039   -ucneg 9040   NN0cn0 9967   ZZcz 10026    || cdivides 12533    gcd cgcd 12687   Basecbs 13150   ↾s cress 13151   .rcmulr 13211   Ringcrg 15339   CRingccrg 15340   1rcur 15341   ||rcdsr 15422  Unitcui 15423   RingHom crh 15496  SubRingcsubrg 15543  ℂfldccnfld 16379   ZRHomczrh 16453  ℤ/nczn 16456
This theorem is referenced by:  znunithash  16520  znrrg  16521  dchrelbas4  20484  lgsdchr  20589  rpvmasumlem  20638  dirith  20680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-ec 6664  df-qs 6668  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-rp 10357  df-fz 10785  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-0g 13406  df-imas 13413  df-divs 13414  df-mnd 14369  df-mhm 14417  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-nsg 14621  df-eqg 14622  df-ghm 14683  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-rnghom 15498  df-subrg 15545  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lsp 15731  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-lidl 15929  df-rsp 15930  df-2idl 15986  df-cnfld 16380  df-zrh 16457  df-zn 16460
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