MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znunithash Unicode version

Theorem znunithash 16574
Description: The size of the unit group of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znunit.u  |-  U  =  (Unit `  Y )
Assertion
Ref Expression
znunithash  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U )  =  ( phi `  N
) )

Proof of Theorem znunithash
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfphi2 12889 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
2 nnnn0 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
4 znchr.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
5 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
6 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
7 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
83, 4, 5, 6, 7znf1o 16561 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
92, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) )
10 nnne0 9823 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
11 ifnefalse 3607 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
12 reseq2 4987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) )
13 f1oeq1 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
15 f1oeq2 5502 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
1614, 15bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
1710, 11, 163syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) )
189, 17mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
19 f1ofn 5511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) )  Fn  (
0..^ N ) )
20 elpreima 5683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) )  Fn  (
0..^ N )  -> 
( x  e.  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U ) ) )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U ) ) )
22 fvres 5580 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x ) )
2322adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2423eleq1d 2382 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  U
) )
25 elfzoelz 10922 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
26 znunit.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (Unit `  Y )
27 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
284, 26, 27znunit 16573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  e.  U  <->  ( x  gcd  N )  =  1 ) )
292, 25, 28syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  e.  U  <->  ( x  gcd  N )  =  1 ) )
3024, 29bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) `  x )  e.  U  <->  ( x  gcd  N )  =  1 ) )
3130pm5.32da 622 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) `
 x )  e.  U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( x  gcd  N )  =  1 ) ) )
3221, 31bitrd 244 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
x  e.  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  <->  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( x  gcd  N )  =  1 ) ) )
3332abbi2dv 2431 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  =  { x  |  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  (
x  gcd  N )  =  1 ) } )
34 df-rab 2586 . . . 4  |-  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 }  =  { x  |  ( x  e.  ( 0..^ N )  /\  ( x  gcd  N )  =  1 ) }
3533, 34syl6eqr 2366 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  =  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N
)  =  1 } )
3635fveq2d 5567 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) " U
) )  =  (
# `  { x  e.  ( 0..^ N )  |  ( x  gcd  N )  =  1 } ) )
37 f1ocnv 5523 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
)
-1-1-onto-> ( 0..^ N ) )
38 f1of1 5509 . . . . 5  |-  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
)
-1-1-onto-> ( 0..^ N )  ->  `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
) -1-1-> ( 0..^ N ) )
3918, 37, 383syl 18 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) ) : ( Base `  Y
) -1-1-> ( 0..^ N ) )
40 ovex 5925 . . . . 5  |-  ( 0..^ N )  e.  _V
4140a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0..^ N )  e. 
_V )
425, 26unitss 15491 . . . . 5  |-  U  C_  ( Base `  Y )
4342a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U  C_  ( Base `  Y
) )
44 fvex 5577 . . . . . 6  |-  (Unit `  Y )  e.  _V
4526, 44eqeltri 2386 . . . . 5  |-  U  e. 
_V
4645a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  U  e.  _V )
47 f1imaen2g 6965 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  ( 0..^ N ) ) : ( Base `  Y ) -1-1-> ( 0..^ N )  /\  (
0..^ N )  e. 
_V )  /\  ( U  C_  ( Base `  Y
)  /\  U  e.  _V ) )  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  ~~  U )
4839, 41, 43, 46, 47syl22anc 1183 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  ~~  U )
49 hasheni 11394 . . 3  |-  ( ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U )  ~~  U  ->  ( # `  ( `' ( ( ZRHom `  Y )  |`  (
0..^ N ) )
" U ) )  =  ( # `  U
) )
5048, 49syl 15 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' ( ( ZRHom `  Y
)  |`  ( 0..^ N ) ) " U
) )  =  (
# `  U )
)
511, 36, 503eqtr2rd 2355 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 U )  =  ( phi `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302    =/= wne 2479   {crab 2581   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   ifcif 3599   class class class wbr 4060   `'ccnv 4725    |` cres 4728   "cima 4729    Fn wfn 5287   -1-1->wf1 5289   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ~~ cen 6903   0cc0 8782   1c1 8783   NNcn 9791   NN0cn0 10012   ZZcz 10071  ..^cfzo 10917   #chash 11384    gcd cgcd 12732   phicphi 12879   Basecbs 13195   ↾s cress 13196  Unitcui 15470  ℂfldccnfld 16432   ZRHomczrh 16507  ℤ/nczn 16510
This theorem is referenced by:  dchrfi  20547  dchrsum2  20560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-dvds 12579  df-gcd 12733  df-phi 12881  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-0g 13453  df-imas 13460  df-divs 13461  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-nsg 14668  df-eqg 14669  df-ghm 14730  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-cring 15390  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-rnghom 15545  df-subrg 15592  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-sra 15974  df-rgmod 15975  df-lidl 15976  df-rsp 15977  df-2idl 16033  df-cnfld 16433  df-zrh 16511  df-zn 16514
  Copyright terms: Public domain W3C validator