MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhmulg Unicode version

Theorem zrhmulg 16520
Description: Value of the  ZRHom homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhval.1  |-  Z  =  (flds  ZZ )
zrhval.2  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
zrhval2.3  |-  .x.  =  (.g
`  R )
zrhval2.4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
zrhmulg  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  N )  =  ( N  .x.  .1.  ) )

Proof of Theorem zrhmulg
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zrhval.1 . . . 4  |-  Z  =  (flds  ZZ )
2 zrhval.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  R
)
3 zrhval2.3 . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  R )
4 zrhval2.4 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
51, 2, 3, 4zrhval2 16519 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  L  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  .1.  )
) )
65fveq1d 5565 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( L `
 N )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  .1.  ) ) `  N
) )
7 oveq1 5907 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
n  .x.  .1.  )  =  ( N  .x.  .1.  ) )
8 eqid 2316 . . 3  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  .1.  ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  .1.  ) )
9 ovex 5925 . . 3  |-  ( N 
.x.  .1.  )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5640 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  .1.  )
) `  N )  =  ( N  .x.  .1.  ) )
116, 10sylan9eq 2368 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L `  N )  =  ( N  .x.  .1.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    e. cmpt 4114   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   ZZcz 10071   ↾s cress 13196  .gcmg 14415   Ringcrg 15386   1rcur 15388  ℂfldccnfld 16432   ZRHomczrh 16507
This theorem is referenced by:  chrid  16537  chrdvds  16538  chrcong  16539  zrhnm  23550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-seq 11094  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-cmn 15140  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-cring 15390  df-ur 15391  df-rnghom 15545  df-subrg 15592  df-cnfld 16433  df-zrh 16511
  Copyright terms: Public domain W3C validator