Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhre Structured version   Unicode version

Theorem zrhre 24377
Description: The  ZRHom homomorphism for the real number structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
zrhre  |-  ( ZRHom `  (flds  RR ) )  =  (  _I  |`  ZZ )

Proof of Theorem zrhre
StepHypRef Expression
1 resubdrg 16742 . . . 4  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  RR )  e.  DivRing )
21simpri 449 . . 3  |-  (flds  RR )  e.  DivRing
3 drngrng 15834 . . 3  |-  ( (flds  RR )  e.  DivRing  ->  (flds  RR )  e.  Ring )
4 eqid 2435 . . . 4  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
5 eqid 2435 . . . 4  |-  ( ZRHom `  (flds  RR ) )  =  ( ZRHom `  (flds  RR ) )
6 eqid 2435 . . . 4  |-  (.g `  (flds  RR )
)  =  (.g `  (flds  RR )
)
7 eqid 2435 . . . . 5  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
87re1r 24266 . . . 4  |-  1  =  ( 1r `  (flds  RR ) )
94, 5, 6, 8zrhval2 16782 . . 3  |-  ( (flds  RR )  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  (flds  RR ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  (flds  RR ) ) 1 ) ) )
102, 3, 9mp2b 10 . 2  |-  ( ZRHom `  (flds  RR ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  (flds  RR ) ) 1 ) )
11 1re 9082 . . . . 5  |-  1  e.  RR
127remulg 24262 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  RR )  ->  ( n (.g `  (flds  RR )
) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
1311, 12mpan2 653 . . . 4  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n (.g `  (flds  RR ) ) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
14 zre 10278 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  RR )
15 ax-1rid 9052 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
1713, 16eqtrd 2467 . . 3  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n (.g `  (flds  RR ) ) 1 )  =  n )
1817mpteq2ia 4283 . 2  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  (flds  RR ) ) 1 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  n )
19 mptresid 5187 . 2  |-  ( n  e.  ZZ  |->  n )  =  (  _I  |`  ZZ )
2010, 18, 193eqtri 2459 1  |-  ( ZRHom `  (flds  RR ) )  =  (  _I  |`  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4258    _I cid 4485    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   1c1 8983    x. cmul 8987   ZZcz 10274   ↾s cress 13462  .gcmg 14681   Ringcrg 15652   DivRingcdr 15827  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695   ZRHomczrh 16770
This theorem is referenced by:  qqhre  24378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-rnghom 15811  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-cnfld 16696  df-zrh 16774
  Copyright terms: Public domain W3C validator