MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Unicode version

Theorem zsubcl 10212
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10180 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 10180 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 negsub 9242 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
5 znegcl 10206 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
6 zaddcl 10210 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
75, 6sylan2 460 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
84, 7eqeltrrd 2441 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715  (class class class)co 5981   CCcc 8882    + caddc 8887    - cmin 9184   -ucneg 9185   ZZcz 10175
This theorem is referenced by:  peano2zm  10213  zrevaddcl  10214  znnsub  10215  znn0sub  10216  zneo  10245  uzindOLD  10257  zsubcld  10273  eluzsubi  10406  fzen  10964  fzrev  10999  fzrev2  11000  fzm1  11017  fzrevral2  11022  fzshftral  11024  zmodcl  11153  fzen2  11195  facndiv  11466  bccmpl  11487  bcval5  11496  bcpasc  11499  hashfz  11579  seqshft  11787  isercoll2  12349  moddvds  12746  dvds2sub  12769  dvdssub2  12774  dvdssubr  12778  fzocongeq  12790  odd2np1  12795  3dvds  12799  divalglem0  12800  divalglem4  12803  divalglem9  12808  divalgb  12811  divalgmod  12813  ndvdsadd  12815  nn0seqcvgd  12948  eulerthlem2  13058  prmdiv  13061  prmdiveq  13062  omoe  13073  omeo  13075  pythagtriplem4  13080  pythagtriplem8  13084  mod2xnegi  13294  mndodcongi  15068  odcong  15074  odf1  15085  odf1o1  15093  efgredleme  15262  plyeq0lem  19807  aaliou3lem1  19937  aaliou3lem2  19938  efif1olem2  20123  wilthlem2  20530  basellem2  20542  dchrptlem1  20726  bposlem6  20751  lgsquadlem1  20816  ballotlemfelz  24196  zfallfaccl  24810  bpolydiflem  25531  irrapxlem1  26413  jm2.24nn  26552  congtr  26558  congadd  26559  congmul  26560  congabseq  26567  acongeq  26576  jm2.26a  26599  jm2.15nn0  26602  jm2.27c  26606  jm3.1  26619  fmul01lt1lem2  27221  stoweidlem26  27281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176
  Copyright terms: Public domain W3C validator