MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Unicode version

Theorem zsubcl 10063
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10031 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 10031 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 negsub 9097 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
5 znegcl 10057 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
6 zaddcl 10061 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
75, 6sylan2 460 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
84, 7eqeltrrd 2360 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686  (class class class)co 5860   CCcc 8737    + caddc 8742    - cmin 9039   -ucneg 9040   ZZcz 10026
This theorem is referenced by:  peano2zm  10064  zrevaddcl  10065  znnsub  10066  znn0sub  10067  zneo  10096  uzindOLD  10108  zsubcld  10124  eluzsubi  10257  fzen  10813  fzrev  10848  fzrev2  10849  fzm1  10864  fzrevral2  10869  fzshftral  10871  zmodcl  10991  fzen2  11033  facndiv  11303  bccmpl  11324  bcval5  11332  bcpasc  11335  hashfz  11383  seqshft  11582  isercoll2  12144  moddvds  12540  dvds2sub  12563  dvdssub2  12568  dvdssubr  12572  fzocongeq  12584  odd2np1  12589  3dvds  12593  divalglem0  12594  divalglem4  12597  divalglem9  12602  divalgb  12605  divalgmod  12607  ndvdsadd  12609  nn0seqcvgd  12742  eulerthlem2  12852  prmdiv  12855  prmdiveq  12856  omoe  12867  omeo  12869  pythagtriplem4  12874  pythagtriplem8  12878  mod2xnegi  13088  mndodcongi  14860  odcong  14866  odf1  14877  odf1o1  14885  efgredleme  15054  plyeq0lem  19594  aaliou3lem1  19724  aaliou3lem2  19725  efif1olem2  19907  wilthlem2  20309  basellem2  20321  dchrptlem1  20505  bposlem6  20530  lgsquadlem1  20595  ballotlemfelz  23051  bpolydiflem  24791  irrapxlem1  26918  jm2.24nn  27057  congtr  27063  congadd  27064  congmul  27065  congabseq  27072  acongeq  27081  jm2.26a  27104  jm2.15nn0  27107  jm2.27c  27111  jm3.1  27124  fmul01lt1lem2  27726  stoweidlem26  27786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027
  Copyright terms: Public domain W3C validator