MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Structured version   Unicode version

Theorem zsubcl 10350
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10318 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 10318 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 negsub 9380 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
5 znegcl 10344 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
6 zaddcl 10348 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
75, 6sylan2 462 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
84, 7eqeltrrd 2517 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727  (class class class)co 6110   CCcc 9019    + caddc 9024    - cmin 9322   -ucneg 9323   ZZcz 10313
This theorem is referenced by:  peano2zm  10351  zrevaddcl  10352  znnsub  10353  znn0sub  10354  zneo  10383  uzindOLD  10395  zsubcld  10411  eluzsubi  10544  fzen  11103  fzrev  11139  fzrev2  11140  fzm1  11158  fzrevral2  11163  fzshftral  11165  zmodcl  11297  fzen2  11339  facndiv  11610  bccmpl  11631  bcval5  11640  bcpasc  11643  hashfz  11723  seqshft  11931  isercoll2  12493  moddvds  12890  dvds2sub  12913  dvdssub2  12918  dvdssubr  12922  fzocongeq  12934  odd2np1  12939  3dvds  12943  divalglem0  12944  divalglem4  12947  divalglem9  12952  divalgb  12955  divalgmod  12957  ndvdsadd  12959  nn0seqcvgd  13092  eulerthlem2  13202  prmdiv  13205  prmdiveq  13206  omoe  13217  omeo  13219  pythagtriplem4  13224  pythagtriplem8  13228  mod2xnegi  13438  mndodcongi  15212  odcong  15218  odf1  15229  odf1o1  15237  efgredleme  15406  plyeq0lem  20160  aaliou3lem1  20290  aaliou3lem2  20291  efif1olem2  20476  wilthlem2  20883  basellem2  20895  dchrptlem1  21079  bposlem6  21104  lgsquadlem1  21169  ballotlemfelz  24779  zfallfaccl  25368  binomrisefac  25389  bpolydiflem  26131  irrapxlem1  26923  jm2.24nn  27062  congtr  27068  congadd  27069  congmul  27070  congabseq  27077  acongeq  27086  jm2.26a  27109  jm2.15nn0  27112  jm2.27c  27116  jm3.1  27129  lesubnn0  28143  2elfz2melfz  28164  fz0fzdiffz0  28166  ubmelm1fzo  28174  elfzomelpfzo  28176  subsubelfzo0  28182  ccatsymb  28235  swrdltnd  28239  swrdccatin12lem2  28265  swrdccatin12lem3a  28266  swrdccatin12lem3b  28267  swrdccatin12lem3  28270  swrdccat  28274  cshwidx  28300  2cshw1lem1  28306  2cshw1lem2  28307  2cshw2lem1  28310  2cshw2lem2  28311  cshwssizelem4a  28341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314
  Copyright terms: Public domain W3C validator