MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Unicode version

Theorem zsubcl 10283
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10251 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 10251 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 negsub 9313 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
5 znegcl 10277 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
6 zaddcl 10281 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
75, 6sylan2 461 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
84, 7eqeltrrd 2487 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6048   CCcc 8952    + caddc 8957    - cmin 9255   -ucneg 9256   ZZcz 10246
This theorem is referenced by:  peano2zm  10284  zrevaddcl  10285  znnsub  10286  znn0sub  10287  zneo  10316  uzindOLD  10328  zsubcld  10344  eluzsubi  10477  fzen  11036  fzrev  11072  fzrev2  11073  fzm1  11090  fzrevral2  11095  fzshftral  11097  zmodcl  11229  fzen2  11271  facndiv  11542  bccmpl  11563  bcval5  11572  bcpasc  11575  hashfz  11655  seqshft  11863  isercoll2  12425  moddvds  12822  dvds2sub  12845  dvdssub2  12850  dvdssubr  12854  fzocongeq  12866  odd2np1  12871  3dvds  12875  divalglem0  12876  divalglem4  12879  divalglem9  12884  divalgb  12887  divalgmod  12889  ndvdsadd  12891  nn0seqcvgd  13024  eulerthlem2  13134  prmdiv  13137  prmdiveq  13138  omoe  13149  omeo  13151  pythagtriplem4  13156  pythagtriplem8  13160  mod2xnegi  13370  mndodcongi  15144  odcong  15150  odf1  15161  odf1o1  15169  efgredleme  15338  plyeq0lem  20090  aaliou3lem1  20220  aaliou3lem2  20221  efif1olem2  20406  wilthlem2  20813  basellem2  20825  dchrptlem1  21009  bposlem6  21034  lgsquadlem1  21099  ballotlemfelz  24709  zfallfaccl  25297  binomfallfaclem1  25314  binomfallfaclem2  25315  binomrisefac  25317  bpolydiflem  26012  irrapxlem1  26783  jm2.24nn  26922  congtr  26928  congadd  26929  congmul  26930  congabseq  26937  acongeq  26946  jm2.26a  26969  jm2.15nn0  26972  jm2.27c  26976  jm3.1  26989  lesubnn0  27980  ubmelm1fzo  27995  elfzomelpfzo  27997  swrdltnd  28008  swrdccatin12lem2  28028  swrdccatin12lem3a  28029  swrdccatin12lem3b  28030  swrdccatin12lem3  28032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator