MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubrg Structured version   Unicode version

Theorem zsubrg 16754
Description: The integers form a subring of the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
zsubrg  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )

Proof of Theorem zsubrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 10289 . 2  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
2 zaddcl 10319 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  +  y )  e.  ZZ )
3 znegcl 10315 . 2  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
4 1z 10313 . 2  |-  1  e.  ZZ
5 zmulcl 10326 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
61, 2, 3, 4, 5cnsubrglem 16750 1  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   ` cfv 5456   ZZcz 10284  SubRingcsubrg 15866  ℂfldccnfld 16705
This theorem is referenced by:  zrngunit  16767  zlpirlem1  16770  zlpirlem3  16772  zlpir  16773  zcyg  16774  prmirredlem  16775  prmirred  16777  expghm  16779  mulgghm2  16788  mulgrhm  16789  mulgrhm2  16790  zrh1  16796  zrh0  16797  zlmlmod  16806  zlmassa  16807  znlidl  16816  zncrng2  16817  znbas  16826  znzrh2  16828  znzrhfo  16830  zndvds  16832  zndvds0  16833  znf1o  16834  zzngim  16835  znfld  16843  znidomb  16844  znunit  16846  znrrg  16848  cygznlem3  16852  frgpcyg  16856  zlmclm  19122  wilthlem2  20854  wilthlem3  20855  lgsqrlem1  21127  lgsqrlem2  21128  lgsqrlem3  21129  lgseisenlem3  21137  lgseisenlem4  21138  dchrisum0flblem1  21204  zzs1  24270  cnzh  24356  rezh  24357  mzpmfp  26806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-cmn 15416  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-cnfld 16706
  Copyright terms: Public domain W3C validator