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Theorem zsupss 10570
Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 9073.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsupss  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B
Allowed substitution hints:    B( y, z)

Proof of Theorem zsupss
Dummy variables  m  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4218 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  (
y  <_  x  <->  m  <_  x ) )
21cbvralv 2934 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  x )
3 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
m  <_  x  <->  m  <_  n ) )
43ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  ( A. m  e.  A  m  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
52, 4syl5bb 250 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
65cbvrexv 2935 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n )
7 simp1rl 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  ZZ )
87znegcld 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  e.  ZZ )
9 simp2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ZZ )
109zred 10380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  RR )
117zred 10380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
12 simp3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  e.  A )
13 simp1rr 1024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  A. m  e.  A  m  <_  n )
14 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  -u w  ->  (
m  <_  n  <->  -u w  <_  n ) )
1514rspcv 3050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u w  e.  A  ->  ( A. m  e.  A  m  <_  n  ->  -u w  <_  n ) )
1612, 13, 15sylc 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  <_  n )
1710, 11, 16lenegcon1d 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  <_  w )
18 eluz2 10499 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ZZ>= `  -u n
)  <->  ( -u n  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  -u n  <_  w ) )
198, 9, 17, 18syl3anbrc 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
2019rabssdv 3425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
21 n0 3639 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. n  n  e.  A )
22 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
2322znegcld 10382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u n  e.  ZZ )
2422zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  CC )
2524negnegd 9407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u -u n  =  n )
26 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  A )
2725, 26eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  -u -u n  e.  A )
28 negeq 9303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  -u n  ->  -u w  =  -u -u n )
2928eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  -u n  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u n  e.  A ) )
3029rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u n  e.  ZZ  /\  -u -u n  e.  A
)  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3123, 27, 30syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  n  e.  A )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3231ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( n  e.  A  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
) )
3332exlimdv 1647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. n  n  e.  A  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A ) )
3433imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. n  n  e.  A
)  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3521, 34sylan2b 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A
)
3635adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A )
37 rabn0 3649 . . . . . . . 8  |-  ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  ZZ  -u w  e.  A )
3836, 37sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/) )
39 infmssuzcl 10564 . . . . . . 7  |-  ( ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  -u n
)  /\  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =/=  (/) )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
4020, 38, 39syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
41 negeq 9303 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  -u n  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4241eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -u n  e.  A  <->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A ) )
43 negeq 9303 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  n  ->  -u w  =  -u n )
4443eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  n  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u n  e.  A ) )
4544cbvrabv 2957 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =  {
n  e.  ZZ  |  -u n  e.  A }
4642, 45elrab2 3096 . . . . . . 7  |-  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } 
<->  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ  /\  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A
) )
4746simprbi 452 . . . . . 6  |-  ( sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
4840, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A )
49 ssrab2 3430 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ZZ
5040adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }
)
5149, 50sseldi 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
5251zred 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
53 simpll 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A  C_  ZZ )
5453sselda 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  ZZ )
5554zred 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
5620adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  -u n ) )
5754znegcld 10382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u y  e.  ZZ )
5854zcnd 10381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  CC )
5958negnegd 9407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u -u y  =  y )
60 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
6159, 60eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u -u y  e.  A )
62 negeq 9303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  -u w  =  -u -u y )
6362eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u y  e.  A ) )
6463elrab 3094 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  <->  ( -u y  e.  ZZ  /\  -u -u y  e.  A ) )
6557, 61, 64sylanbrc 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u y  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
66 infmssuzle 10563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  -u n
)  /\  -u y  e. 
{ w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  -u y
)
6756, 65, 66syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  -u y
)
6852, 55, 67lenegcon2d 9614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  <_  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
6951znegcld 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
7069zred 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
7155, 70lenltd 9224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_ 
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
) )
7268, 71mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
)
7372ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y )
74 breq2 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  < 
z  <->  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
7574rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
7675ex 425 . . . . . . 7  |-  ( -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  ->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
7748, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
7877ralrimivw 2792 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
79 breq1 4218 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  < 
y  <->  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y ) )
8079notbid 287 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y
) )
8180ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y ) )
82 breq2 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  < 
x  <->  y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
8382imbi1d 310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8483ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8581, 84anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
8685rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( (
-u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  A  /\  ( A. y  e.  A  -.  -u
sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  < 
y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -u sup ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8748, 73, 78, 86syl12anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
8887rexlimdvaa 2833 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
896, 88syl5bi 210 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
90893impia 1151 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   ` cfv 5457   supcsup 7448   RRcr 8994    < clt 9125    <_ cle 9126   -ucneg 9297   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493
This theorem is referenced by:  suprzcl2  10571  suprzub  10572  uzsupss  10573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494
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