Theorem 2wsms 10601

Description: Two ways to state the midpoint of a segment.

Assertion

Ref	Expression
2wsms	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((A + B) / 2) = (B − ((abs ‘(A − B)) / 2)))

Proof of Theorem 2wsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddass 5289	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) + B) = ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + (A + B)))
2	1	eqcomd 1483	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + (A + B)) = (((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) + B))
3		divcan2t 5733	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ‘(A − B)) ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ ⋀ 2 ≠ 0) → (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) = (abs ‘(A − B)))
4		3simpa 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ))
5		recnt 5325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
6		recnt 5325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℝ → B ∈ ℂ)
7	5, 6	anim12i 333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ))
8		subclt 5379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A − B) ∈ ℂ)
9	4, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (A − B) ∈ ℂ)
10		absclt 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A − B) ∈ ℂ → (abs ‘(A − B)) ∈ ℝ)
11		recnt 5325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ‘(A − B)) ∈ ℝ → (abs ‘(A − B)) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	3syl 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (abs ‘(A − B)) ∈ ℂ)
13		2cn 5982	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14	13	a1i 8	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → 2 ∈ ℂ)
15		2ne0 5992	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 8	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → 2 ≠ 0)
17	3, 12, 14, 16	syl3anc 860	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) = (abs ‘(A − B)))
18		resubclt 5450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A − B) ∈ ℝ)
19		recnt 5325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A − B) ∈ ℝ → (A − B) ∈ ℂ)
20	4, 18, 19	3syl 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (A − B) ∈ ℂ)
21	20, 10, 11	3syl 20	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (abs ‘(A − B)) ∈ ℂ)
22	17, 21	eqeltrd 1551	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ)
23	5	3ad2ant1 802	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → A ∈ ℂ)
24	6	3ad2ant2 803	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → B ∈ ℂ)
25	2, 22, 23, 24	syl3anc 860	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + (A + B)) = (((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) + B))
26		axaddcom 5287	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) + B) = (B + ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A)))
27		axaddcl 5283	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ) → ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) ∈ ℂ)
28	27, 22, 23	sylanc 473	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) ∈ ℂ)
29	26, 28, 24	sylanc 473	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) + B) = (B + ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A)))
30		3simp2 791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → B ∈ ℝ)
31		2timest 6006	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℂ → (2 · B) = (B + B))
32	30, 6, 31	3syl 20	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (2 · B) = (B + B))
33	32	opreq1d 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((2 · B) − B) = ((B + B) − B))
34	6, 6	jca 288	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℝ → (B ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ))
35		pncant 5409	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((B + B) − B) = B)
36	30, 34, 35	3syl 20	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((B + B) − B) = B)
37		abssuble0t 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A ≤ B) → (abs ‘(A − B)) = (B − A))
38		ltlet 5532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A < B → A ≤ B))
39	38	3impia 832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → A ≤ B)
40	37, 39	syld3an3 872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (abs ‘(A − B)) = (B − A))
41	17, 40	eqtr2d 1511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (B − A) = (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)))
42		subaddt 5387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ ⋀ (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ) → ((B − A) = (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) ↔ (A + (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))) = B))
43	42, 24, 23, 22	syl3anc 860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((B − A) = (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) ↔ (A + (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))) = B))
44	41, 43	mpbid 195	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (A + (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))) = B)
45		axaddcom 5287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ) → (A + (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))) = ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A))
46	45, 23, 22	sylanc 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (A + (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))) = ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A))
47	44, 46	eqtr3d 1512	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → B = ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A))
48	33, 36, 47	3eqtrd 1514	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((2 · B) − B) = ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A))
49		subaddt 5387	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · B) ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) ∈ ℂ) → (((2 · B) − B) = ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) ↔ (B + ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A)) = (2 · B)))
50		axmulcl 5285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (2 · B) ∈ ℂ)
51	13, 50	mpan 697	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℂ → (2 · B) ∈ ℂ)
52	30, 6, 51	3syl 20	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (2 · B) ∈ ℂ)
53	49, 52, 24, 28	syl3anc 860	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (((2 · B) − B) = ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A) ↔ (B + ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A)) = (2 · B)))
54	48, 53	mpbid 195	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (B + ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + A)) = (2 · B))
55	25, 29, 54	3eqtrd 1514	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + (A + B)) = (2 · B))
56		subaddt 5387	. . . . 5 ⊢ (((2 · B) ∈ ℂ ⋀ (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ ⋀ (A + B) ∈ ℂ) → (((2 · B) − (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))) = (A + B) ↔ ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + (A + B)) = (2 · B)))
57		axaddcl 5283	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A + B) ∈ ℂ)
58	4, 7, 57	3syl 20	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (A + B) ∈ ℂ)
59	56, 52, 22, 58	syl3anc 860	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (((2 · B) − (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))) = (A + B) ↔ ((2 · ((abs ‘(A − B)) / 2)) + (A + B)) = (2 · B)))
60	55, 59	mpbird 196	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((2 · B) − (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))) = (A + B))
61		subdit 5439	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ ((abs ‘(A − B)) / 2) ∈ ℂ) → (2 · (B − ((abs ‘(A − B)) / 2))) = ((2 · B) − (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))))
62		dmse2 10595	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((abs ‘(A − B)) / 2) ∈ ℝ+)
63		rpret 6285	. . . . 5 ⊢ (((abs ‘(A − B)) / 2) ∈ ℝ+ → ((abs ‘(A − B)) / 2) ∈ ℝ)
64		recnt 5325	. . . . 5 ⊢ (((abs ‘(A − B)) / 2) ∈ ℝ → ((abs ‘(A − B)) / 2) ∈ ℂ)
65	62, 63, 64	3syl 20	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((abs ‘(A − B)) / 2) ∈ ℂ)
66	61, 14, 24, 65	syl3anc 860	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (2 · (B − ((abs ‘(A − B)) / 2))) = ((2 · B) − (2 · ((abs ‘(A − B)) / 2))))
67		divcan2t 5733	. . . 4 ⊢ (((A + B) ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ ⋀ 2 ≠ 0) → (2 · ((A + B) / 2)) = (A + B))
68	67, 58, 14, 16	syl3anc 860	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (2 · ((A + B) / 2)) = (A + B))
69	60, 66, 68	3eqtr4rd 1521	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (2 · ((A + B) / 2)) = (2 · (B − ((abs ‘(A − B)) / 2))))
70	15	mulcant2 5700	. . 3 ⊢ ((((A + B) / 2) ∈ ℂ ⋀ (B − ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ ⋀ 2 ∈ ℂ) → ((2 · ((A + B) / 2)) = (2 · (B − ((abs ‘(A − B)) / 2))) ↔ ((A + B) / 2) = (B − ((abs ‘(A − B)) / 2))))
71		halfaddsubcl 6042	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (((A + B) / 2) ∈ ℂ ⋀ ((A − B) / 2) ∈ ℂ))
72	71	pm3.26d 321	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → ((A + B) / 2) ∈ ℂ)
73	4, 7, 72	3syl 20	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((A + B) / 2) ∈ ℂ)
74		msr3 10596	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (B − ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℝ)
75		recnt 5325	. . . 4 ⊢ ((B − ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℝ → (B − ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ)
76	4, 74, 75	3syl 20	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → (B − ((abs ‘(A − B)) / 2)) ∈ ℂ)
77	70, 73, 76, 14	syl3anc 860	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((2 · ((A + B) / 2)) = (2 · (B − ((abs ‘(A − B)) / 2))) ↔ ((A + B) / 2) = (B − ((abs ‘(A − B)) / 2))))
78	69, 77	mpbid 195	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ A < B) → ((A + B) / 2) = (B − ((abs ‘(A − B)) / 2)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ℝcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   · cmul 5251   − cmin 5304   / cdiv 5306   ≤ cle 5307  ℝ⁺crp 5312   < clt 5498  2c2 5963  abscabs 6751

This theorem is referenced by:  msra3 10602

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755

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