Theorem 3oalem3 9604

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law.

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ B ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ C ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ R ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ S ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem3	⊢ ((B +ℋ R) ∩ (C +ℋ S)) ⊆ (B +ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)))))

Proof of Theorem 3oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3oalem1.1	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ Cℋ
2		3oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ R ∈ Cℋ
3	1, 2	chsel 9377	. . . . . 6 ⊢ (v ∈ (B +ℋ R) ↔ ∃x ∈ B ∃y ∈ R v = (x +h y))
4		r2ex 1694	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ B ∃y ∈ R v = (x +h y) ↔ ∃x∃y((x ∈ B ⋀ y ∈ R) ⋀ v = (x +h y)))
5	3, 4	bitr 173	. . . . 5 ⊢ (v ∈ (B +ℋ R) ↔ ∃x∃y((x ∈ B ⋀ y ∈ R) ⋀ v = (x +h y)))
6		3oalem1.2	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ Cℋ
7		3oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ S ∈ Cℋ
8	6, 7	chsel 9377	. . . . . 6 ⊢ (v ∈ (C +ℋ S) ↔ ∃z ∈ C ∃w ∈ S v = (z +h w))
9		r2ex 1694	. . . . . 6 ⊢ (∃z ∈ C ∃w ∈ S v = (z +h w) ↔ ∃z∃w((z ∈ C ⋀ w ∈ S) ⋀ v = (z +h w)))
10	8, 9	bitr 173	. . . . 5 ⊢ (v ∈ (C +ℋ S) ↔ ∃z∃w((z ∈ C ⋀ w ∈ S) ⋀ v = (z +h w)))
11	5, 10	anbi12i 484	. . . 4 ⊢ ((v ∈ (B +ℋ R) ⋀ v ∈ (C +ℋ S)) ↔ (∃x∃y((x ∈ B ⋀ y ∈ R) ⋀ v = (x +h y)) ⋀ ∃z∃w((z ∈ C ⋀ w ∈ S) ⋀ v = (z +h w))))
12		elin 2210	. . . 4 ⊢ (v ∈ ((B +ℋ R) ∩ (C +ℋ S)) ↔ (v ∈ (B +ℋ R) ⋀ v ∈ (C +ℋ S)))
13		ee4anv 1327	. . . 4 ⊢ (∃x∃y∃z∃w(((x ∈ B ⋀ y ∈ R) ⋀ v = (x +h y)) ⋀ ((z ∈ C ⋀ w ∈ S) ⋀ v = (z +h w))) ↔ (∃x∃y((x ∈ B ⋀ y ∈ R) ⋀ v = (x +h y)) ⋀ ∃z∃w((z ∈ C ⋀ w ∈ S) ⋀ v = (z +h w))))
14	11, 12, 13	3bitr4 183	. . 3 ⊢ (v ∈ ((B +ℋ R) ∩ (C +ℋ S)) ↔ ∃x∃y∃z∃w(((x ∈ B ⋀ y ∈ R) ⋀ v = (x +h y)) ⋀ ((z ∈ C ⋀ w ∈ S) ⋀ v = (z +h w))))
15	1, 6, 2, 7	3oalem2 9603	. . . . 5 ⊢ ((((x ∈ B ⋀ y ∈ R) ⋀ v = (x +h y)) ⋀ ((z ∈ C ⋀ w ∈ S) ⋀ v = (z +h w))) → v ∈ (B +ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))))))
16	15	19.23aivv 1298	. . . 4 ⊢ (∃z∃w(((x ∈ B ⋀ y ∈ R) ⋀ v = (x +h y)) ⋀ ((z ∈ C ⋀ w ∈ S) ⋀ v = (z +h w))) → v ∈ (B +ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))))))
17	16	19.23aivv 1298	. . 3 ⊢ (∃x∃y∃z∃w(((x ∈ B ⋀ y ∈ R) ⋀ v = (x +h y)) ⋀ ((z ∈ C ⋀ w ∈ S) ⋀ v = (z +h w))) → v ∈ (B +ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))))))
18	14, 17	sylbi 199	. 2 ⊢ (v ∈ ((B +ℋ R) ∩ (C +ℋ S)) → v ∈ (B +ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))))))
19	18	ssriv 2072	1 ⊢ ((B +ℋ R) ∩ (C +ℋ S)) ⊆ (B +ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)))))

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∃wex 982  ∃wrex 1649   ∩ cin 2049   ⊆ wss 2050  (class class class)co 3969   +_h cva 8784   C_ℋ cch 8793   +_ℋ cph 8795

This theorem is referenced by:  3oa 9608

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-hvsub 8835  df-sh 9071  df-ch 9087  df-shsum 9268

Copyright terms: Public domain