Theorem axaddcl 5243

Description: Closure law for addition of complex numbers. Axiom 5 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddcl	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A + B) ∈ ℂ)

Proof of Theorem axaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddopr 5237	. 2 ⊢ + :(ℂ × ℂ)–→ℂ
2	1	foprcl 4000	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A + B) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ∈ wcel 955  (class class class)co 3948  ℂcc 5204   + caddc 5209

This theorem is referenced by:  addclt 5273  adddirt 5291  addcl 5292  add4t 5310  peano2cn 5316  cnegextlem3 5319  cnegext 5320  0cnALT 5322  negeu 5327  addsubasst 5355  2addsubt 5361  muladdt 5393  muladd11t 5394  nppcan2t 5442  addsub4t 5445  mulsubt 5449  ppncant 5453  recext 5657  muleqaddt 5669  conjmult 5753  halfaddsubcl 5987  halfaddsubt 5988  uzindOLD 6156  shftval2t 6284  shftval5t 6287  2shft 6289  ser0cl1 6496  bernneq 6583  crret 6702  crretOLD 6703  crimt 6704  crimtOLD 6705  recjt 6753  imcjt 6754  sqabsaddt 6783  absreimsqt 6791  absreimt 6792  ser1absdiflem 6866  fsumclt 6953  fsumadd 6960  binomlem5 7008  climaddlem3 7052  serzf0 7105  ser1f0 7106  fnsmnt 7161  cosclt 7374  efi4pt 7377  resin4pt 7378  recos4pt 7379  efivalt 7389  addsint 7399  demoivre 7426  ioo2bl 7851  addcn 7920  4ipval2 8292  4ipval3 8296  ipcj 8301  cnph 8409  minveclem18 8493  minveclem27 8502  cosco 8587  efgh 8633  effoi 8666  effoiOLD 8667  hhssnv 9054  hoadddirt 9647  golem1 10108  superpos 10189  mslb1 10473  2wsms 10474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-c 5212  df-plus 5217

Copyright terms: Public domain