Theorem axinf2 4596

Description: A standard version of Axiom of Infinity, expanded to primitives, derived from our version of Infinity ax-inf 4594 and Regularity ax-reg 4565.

This theorem should not be referenced in any proof. Instead, use ax-inf2 4597 below so that the ordinary uses of Regularity can be more easily identified.

Assertion

Ref	Expression
axinf2	⊢ ∃x(∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y) ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem axinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 3139	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 3140	. . . 4 ⊢ (y ∈ ω → suc y ∈ ω)
3	2	ax-gen 960	. . 3 ⊢ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω)
4		axinf 4595	. . . . . 6 ⊢ ∃x(y ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ⋀ z ∈ x)))
5	4	inf2 4580	. . . . 5 ⊢ ∃x(x ≠ ∅ ⋀ x ⊆ ∪x)
6	5	inf3 4592	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
7		eleq2 1527	. . . . 5 ⊢ (x = ω → (∅ ∈ x ↔ ∅ ∈ ω))
8		eleq2 1527	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → (y ∈ x ↔ y ∈ ω))
9		eleq2 1527	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → (suc y ∈ x ↔ suc y ∈ ω))
10	8, 9	imbi12d 624	. . . . . 6 ⊢ (x = ω → ((y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ (y ∈ ω → suc y ∈ ω)))
11	10	albidv 1273	. . . . 5 ⊢ (x = ω → (∀y(y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω)))
12	7, 11	anbi12d 626	. . . 4 ⊢ (x = ω → ((∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)) ↔ (∅ ∈ ω ⋀ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω))))
13	6, 12	cla4ev 1860	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ⋀ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω)) → ∃x(∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)))
14	1, 3, 13	mp2an 695	. 2 ⊢ ∃x(∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x))
15		0el 2286	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ x ↔ ∃y ∈ x ∀z ¬ z ∈ y)
16		df-rex 1642	. . . . 5 ⊢ (∃y ∈ x ∀z ¬ z ∈ y ↔ ∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y))
17	15, 16	bitr 173	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ x ↔ ∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y))
18		sucel 3032	. . . . . . 7 ⊢ (suc y ∈ x ↔ ∃z ∈ x ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))
19		df-rex 1642	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ x ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)) ↔ ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y))))
20	18, 19	bitr 173	. . . . . 6 ⊢ (suc y ∈ x ↔ ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y))))
21	20	imbi2i 185	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ (y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))))
22	21	albii 996	. . . 4 ⊢ (∀y(y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))))
23	17, 22	anbi12i 481	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)) ↔ (∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y) ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y))))))
24	23	exbii 1047	. 2 ⊢ (∃x(∅ ∈ x ⋀ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)) ↔ ∃x(∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y) ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y))))))
25	14, 24	mpbi 189	1 ⊢ ∃x(∃y(y ∈ x ⋀ ∀z ¬ z ∈ y) ⋀ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ⋀ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ⋁ w = y)))))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223  ∀wal 951   = wceq 953   ∈ wcel 955  ∃wex 977  ∃wrex 1638  ∅c0 2270  suc csuc 2940  ωcom 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf 4594

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fv 3188  df-rdg 3917

Copyright terms: Public domain