Theorem axmulrcl 5254

Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom 8 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulrcl	⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A · B) ∈ ℝ)

Proof of Theorem axmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5230	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ ∃x(x ∈ R ⋀ ⟨x, 0R⟩ = A))
2		elreal 5230	. 2 ⊢ (B ∈ ℝ ↔ ∃y(y ∈ R ⋀ ⟨y, 0R⟩ = B))
3		opreq1 3959	. . 3 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = (A · ⟨y, 0R⟩))
4	3	eleq1d 1537	. 2 ⊢ (⟨x, 0R⟩ = A → ((⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (A · ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ))
5		opreq2 3960	. . 3 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → (A · ⟨y, 0R⟩) = (A · B))
6	5	eleq1d 1537	. 2 ⊢ (⟨y, 0R⟩ = B → ((A · ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (A · B) ∈ ℝ))
7		visset 1809	. . . 4 ⊢ y ∈ V
8	7	mulresr 5237	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) = ⟨(x ·R y), 0R⟩)
9		mulclsr 5173	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (x ·R y) ∈ R)
10		opelreal 5229	. . . 4 ⊢ (⟨(x ·R y), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (x ·R y) ∈ R)
11	9, 10	sylibr 200	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ⟨(x ·R y), 0R⟩ ∈ ℝ)
12	8, 11	eqeltrd 1545	. 2 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, 0R⟩ · ⟨y, 0R⟩) ∈ ℝ)
13	1, 2, 4, 6, 12	2gencl 1825	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → (A · B) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  ⟨cop 2407  (class class class)co 3954  Rcnr 4973  0_Rc0r 4974   ·_R cmr 4978  ℝcr 5213   · cmul 5219

This theorem is referenced by:  remulclt 5284  remulcl 5315  1re 5415  axmulgt0 5486  recextlem2 5664  recext 5665  lemul1t 5796  ltmul12it 5805  lemul12ait 5806  lemul12itOLD 5807  mulgt1t 5809  ltdivmult 5827  ledivmult 5828  lt2mul2divt 5830  lemuldivt 5832  ltdiv23t 5848  lediv23t 5849  avglet 5999  zmulclt 6135  qbtwnre 6224  rpmulclt 6236  reexpclt 6520  expubndt 6547  bernneq 6591  expnbndt 6593  discrlem3 6596  sqr0 6610  sqrlem5 6615  sqrlem6 6616  sqrlem12 6622  faclbnd 6890  faclbnd3 6892  faclbnd5 6898  faclbnd6 6899  facavgt 6900  climmullem4 7067  cvgcmp2clem 7126  cvgratlem1ALT 7190  cvgratlem1 7193  cvgratlem4 7196  erelem1 7269  abspef01tlub 7344  efcnlem2 7368  sin01bndlem2 7418  cos01bndlem2 7420  cos01gt0 7427  sin02gt0 7428  znnen 7453  ruclem13 7473  bl2in 7795  nmoub3i 8381  blocni 8409  ubthlem12 8484  ubthlem13 8485  ubthlem14 8486  minveclem21 8509  minveclem25 8513  minveclem26 8514  minveclem27 8515  htthlem6 8568  htthlem8 8570  sinperlem1 8624  sinq12gt0t 8644  relogexpt 8713  bcs2t 8988  occllem6 9117  pjthlem8 9164  pjthlem10 9166  nmopub2tALT 9773  nmfnleub2t 9789  nmophm 9899  bdophm 9900  lnopcon 9901  lnfncon 9928  cnlnadjlem2 9939  cnlnadjlem7 9944  nmopadjlem 9960  nmopcoadj 9972  branmfnt 9976  leopnmidt 10009  cdj1 10294  cdj3lem2b 10298  cdj3 10302  mslb1 10509

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-m1r 5153  df-c 5220  df-r 5224  df-mul 5226

Copyright terms: Public domain