Theorem axsup 5479

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 27 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axsup 5263 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axsup 5263	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
2	1	3expia 833	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
3		ltxrltt 5472	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
4		ssel2 2054	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ A) → y ∈ ℝ)
5	3, 4	sylan 448	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ A) ⋀ x ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
6	5	an1rs 488	. . . . . 6 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ A) → (y < x ↔ y <ℝ x))
7	6	ralbidva 1651	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ A y < x ↔ ∀y ∈ A y <ℝ x))
8	7	rexbidva 1652	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x ↔ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x))
9	8	adantr 389	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x ↔ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x))
10		ltxrltt 5472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (x < y ↔ x <ℝ y))
11	10	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (x < y ↔ x <ℝ y))
12	11, 4	sylan 448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ A) ⋀ x ∈ ℝ) → (x < y ↔ x <ℝ y))
13	12	an1rs 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ A) → (x < y ↔ x <ℝ y))
14	13	negbid 609	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ A) → (¬ x < y ↔ ¬ x <ℝ y))
15	14	ralbidva 1651	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ A ¬ x < y ↔ ∀y ∈ A ¬ x <ℝ y))
16	3	ancoms 436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
17	16	adantll 392	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
18		ltxrltt 5472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ z ∈ ℝ) → (y < z ↔ y <ℝ z))
19	18	ancoms 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (y < z ↔ y <ℝ z))
20		ssel2 2054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ z ∈ A) → z ∈ ℝ)
21	19, 20	sylan 448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ z ∈ A) ⋀ y ∈ ℝ) → (y < z ↔ y <ℝ z))
22	21	an1rs 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) ⋀ z ∈ A) → (y < z ↔ y <ℝ z))
23	22	rexbidva 1652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (∃z ∈ A y < z ↔ ∃z ∈ A y <ℝ z))
24	23	adantlr 393	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → (∃z ∈ A y < z ↔ ∃z ∈ A y <ℝ z))
25	17, 24	imbi12d 624	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → ((y < x → ∃z ∈ A y < z) ↔ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
26	25	ralbidva 1651	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z) ↔ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
27	15, 26	anbi12d 626	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → ((∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
28	27	rexbidva 1652	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
29	28	adantr 389	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
30	2, 9, 29	3imtr4d 541	. 2 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))))
31	30	3impia 828	1 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 773   ∈ wcel 955   ≠ wne 1577  ∀wral 1637  ∃wrex 1638   ⊆ wss 2037  ∅c0 2270   class class class wbr 2609  ℝcr 5205   <_ℝ cltrr 5210   < clt 5458

This theorem is referenced by:  sup2 5998  sqrlem7 6609  sqrlem8 6610  sqrlem13 6615  sqrlem18 6620

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462

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