Theorem circgrp 8660

Description: The circle group T is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
circgrp.1	⊢ C = {w ∈ ℂ∣(abs ‘w) = 1}
circgrp.2	⊢ T = ( · ↾ (C × C))

Assertion

Ref	Expression
circgrp	⊢ T ∈ Abel

Proof of Theorem circgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3709	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = z → (abs ‘w) = (abs ‘z))
2	1	eqeq1d 1475	. . . . . . . 8 ⊢ (w = z → ((abs ‘w) = 1 ↔ (abs ‘z) = 1))
3		circgrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ C = {w ∈ ℂ∣(abs ‘w) = 1}
4	2, 3	elrab2 1898	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ C ↔ (z ∈ ℂ ⋀ (abs ‘z) = 1))
5		efifolem7 8643	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ ℂ ⋀ (abs ‘z) = 1) → ∃x ∈ (0[,)(2 · π))z = (exp ‘(i · x)))
6	4, 5	sylbi 199	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ C → ∃x ∈ (0[,)(2 · π))z = (exp ‘(i · x)))
7		0re 5412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		2re 5926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		pire 8596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ
10	8, 9	remulcl 5307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
11		elico2t 6323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ (2 · π) ∈ ℝ) → (x ∈ (0[,)(2 · π)) ↔ (x ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ x ⋀ x < (2 · π))))
12	7, 10, 11	mp2an 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ (0[,)(2 · π)) ↔ (x ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ x ⋀ x < (2 · π)))
13	12	biimp 151	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ (0[,)(2 · π)) → (x ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ x ⋀ x < (2 · π)))
14	13	3simp1d 792	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ (0[,)(2 · π)) → x ∈ ℝ)
15	14	anim1i 334	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ (0[,)(2 · π)) ⋀ z = (exp ‘(i · x))) → (x ∈ ℝ ⋀ z = (exp ‘(i · x))))
16	15	r19.22i2 1725	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ (0[,)(2 · π))z = (exp ‘(i · x)) → ∃x ∈ ℝ z = (exp ‘(i · x)))
17	6, 16	syl 10	. . . . 5 ⊢ (z ∈ C → ∃x ∈ ℝ z = (exp ‘(i · x)))
18		visset 1804	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
19		eqeq1 1473	. . . . . . 7 ⊢ (y = z → (y = (exp ‘(i · x)) ↔ z = (exp ‘(i · x))))
20	19	rexbidv 1656	. . . . . 6 ⊢ (y = z → (∃x ∈ ℝ y = (exp ‘(i · x)) ↔ ∃x ∈ ℝ z = (exp ‘(i · x))))
21	18, 20	elab 1888	. . . . 5 ⊢ (z ∈ {y∣∃x ∈ ℝ y = (exp ‘(i · x))} ↔ ∃x ∈ ℝ z = (exp ‘(i · x)))
22	17, 21	sylibr 200	. . . 4 ⊢ (z ∈ C → z ∈ {y∣∃x ∈ ℝ y = (exp ‘(i · x))})
23		eleq1 1526	. . . . . . 7 ⊢ (z = (exp ‘(i · x)) → (z ∈ C ↔ (exp ‘(i · x)) ∈ C))
24	3	efielcirc 8659	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℝ → (exp ‘(i · x)) ∈ C)
25	23, 24	syl5cbir 211	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℝ → (z = (exp ‘(i · x)) → z ∈ C))
26	25	r19.23aiv 1735	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ ℝ z = (exp ‘(i · x)) → z ∈ C)
27	21, 26	sylbi 199	. . . 4 ⊢ (z ∈ {y∣∃x ∈ ℝ y = (exp ‘(i · x))} → z ∈ C)
28	22, 27	impbi 157	. . 3 ⊢ (z ∈ C ↔ z ∈ {y∣∃x ∈ ℝ y = (exp ‘(i · x))})
29	28	eqriv 1467	. 2 ⊢ C = {y∣∃x ∈ ℝ y = (exp ‘(i · x))}
30		circgrp.2	. 2 ⊢ T = ( · ↾ (C × C))
31		axicn 5242	. 2 ⊢ i ∈ ℂ
32		axresscn 5240	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33		readdsubg 8066	. 2 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (SubGrp ‘ + )
34	29, 30, 31, 32, 33	efghgrpi 8635	1 ⊢ T ∈ Abel

Syntax hints:   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 773   = wceq 953   ∈ wcel 955  {cab 1456  ∃wrex 1638  {crab 1640   class class class wbr 2609   × cxp 3158   ↾ cres 3162   ‘cfv 3172  (class class class)co 3948  ℂcc 5204  ℝcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   · cmul 5211   ≤ cle 5267   < clt 5458  2c2 5908  [,)cico 6296  abscabs 6681  expce 7235  πcpi 7239  Abelcabl 8035

This theorem is referenced by:  shftefif1olem 8661

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-7 5922  df-8 5923  df-9 5924  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-rp 6219  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-ioc 6299  df-ico 6300  df-icc 6301  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-bc 6894  df-clim 6913  df-sum 6918  df-cncf 7198  df-ef 7240  df-sin 7242  df-cos 7243  df-pi 7244  df-top 7534  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-subg 8052

Copyright terms: Public domain