Theorem cjmul 6789

Description: Complex conjugate distributes over multiplication. Proposition 10-3.4(c) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
cjcj.1	⊢ A ∈ ℂ
readd.2	⊢ B ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
cjmul	⊢ (∗ ‘(A · B)) = ((∗ ‘A) · (∗ ‘B))

Proof of Theorem cjmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℂ
2	1	recl 6766	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ ‘A) ∈ ℝ
3	2	recn 5326	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ ‘A) ∈ ℂ
4		readd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℂ
5	4	recl 6766	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ ‘B) ∈ ℝ
6	5	recn 5326	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ ‘B) ∈ ℂ
7	3, 6	mulcl 5333	. . . . . 6 ⊢ ((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) ∈ ℂ
8	1	imcl 6767	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ ‘A) ∈ ℝ
9	8	recn 5326	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ ‘A) ∈ ℂ
10	4	imcl 6767	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ ‘B) ∈ ℝ
11	10	recn 5326	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ ‘B) ∈ ℂ
12	9, 11	mulcl 5333	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B)) ∈ ℂ
13	7, 12	subcl 5378	. . . . 5 ⊢ (((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) ∈ ℂ
14		axicn 5282	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
15	3, 11	mulcl 5333	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) ∈ ℂ
16	9, 6	mulcl 5333	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)) ∈ ℂ
17	15, 16	addcl 5332	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) ∈ ℂ
18	14, 17	mulcl 5333	. . . . 5 ⊢ (i · (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))) ∈ ℂ
19	13, 18	negsub 5393	. . . 4 ⊢ ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) + -(i · (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))))) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) − (i · (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))))
20	9, 11	mul2neg 5459	. . . . . . 7 ⊢ (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B)) = ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))
21	20	eqcomi 1482	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B)) = (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B))
22	21	opreq2i 3978	. . . . 5 ⊢ (((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) = (((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B)))
23	14, 17	mulneg2 5458	. . . . . 6 ⊢ (i · -(((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))) = -(i · (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))))
24	15, 16	negdi 5460	. . . . . . . 8 ⊢ -(((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) = (-((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + -((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))
25	3, 11	mulneg2 5458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) = -((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B))
26	9, 6	mulneg1 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)) = -((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))
27	25, 26	opreq12i 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) = (-((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + -((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))
28	24, 27	eqtr4 1501	. . . . . . 7 ⊢ -(((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) = (((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))
29	28	opreq2i 3978	. . . . . 6 ⊢ (i · -(((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))) = (i · (((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))))
30	23, 29	eqtr3 1500	. . . . 5 ⊢ -(i · (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))) = (i · (((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))))
31	22, 30	opreq12i 3979	. . . 4 ⊢ ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) + -(i · (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))))) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B))) + (i · (((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))))
32	19, 31	eqtr3 1500	. . 3 ⊢ ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) − (i · (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))))) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B))) + (i · (((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))))
33	1, 4	remul 6786	. . . 4 ⊢ (ℜ ‘(A · B)) = (((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B)))
34	1, 4	immul 6787	. . . . 5 ⊢ (ℑ ‘(A · B)) = (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))
35	34	opreq2i 3978	. . . 4 ⊢ (i · (ℑ ‘(A · B))) = (i · (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))))
36	33, 35	opreq12i 3979	. . 3 ⊢ ((ℜ ‘(A · B)) − (i · (ℑ ‘(A · B)))) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) − (i · (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))))
37	9	negcl 5381	. . . 4 ⊢ -(ℑ ‘A) ∈ ℂ
38	11	negcl 5381	. . . 4 ⊢ -(ℑ ‘B) ∈ ℂ
39	3, 37, 6, 38	crmul 6741	. . 3 ⊢ (((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))) · ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B)))) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B))) + (i · (((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))))
40	32, 36, 39	3eqtr4 1508	. 2 ⊢ ((ℜ ‘(A · B)) − (i · (ℑ ‘(A · B)))) = (((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))) · ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B))))
41	1, 4	mulcl 5333	. . 3 ⊢ (A · B) ∈ ℂ
42		cjvalt 6764	. . 3 ⊢ ((A · B) ∈ ℂ → (∗ ‘(A · B)) = ((ℜ ‘(A · B)) − (i · (ℑ ‘(A · B)))))
43	41, 42	ax-mp 7	. 2 ⊢ (∗ ‘(A · B)) = ((ℜ ‘(A · B)) − (i · (ℑ ‘(A · B))))
44	14, 9	mulcl 5333	. . . . 5 ⊢ (i · (ℑ ‘A)) ∈ ℂ
45	3, 44	negsub 5393	. . . 4 ⊢ ((ℜ ‘A) + -(i · (ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A)))
46	14, 9	mulneg2 5458	. . . . 5 ⊢ (i · -(ℑ ‘A)) = -(i · (ℑ ‘A))
47	46	opreq2i 3978	. . . 4 ⊢ ((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))) = ((ℜ ‘A) + -(i · (ℑ ‘A)))
48		cjvalt 6764	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))
49	1, 48	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A)))
50	45, 47, 49	3eqtr4r 1509	. . 3 ⊢ (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A)))
51	14, 11	mulcl 5333	. . . . 5 ⊢ (i · (ℑ ‘B)) ∈ ℂ
52	6, 51	negsub 5393	. . . 4 ⊢ ((ℜ ‘B) + -(i · (ℑ ‘B))) = ((ℜ ‘B) − (i · (ℑ ‘B)))
53	14, 11	mulneg2 5458	. . . . 5 ⊢ (i · -(ℑ ‘B)) = -(i · (ℑ ‘B))
54	53	opreq2i 3978	. . . 4 ⊢ ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B))) = ((ℜ ‘B) + -(i · (ℑ ‘B)))
55		cjvalt 6764	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (∗ ‘B) = ((ℜ ‘B) − (i · (ℑ ‘B))))
56	4, 55	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (∗ ‘B) = ((ℜ ‘B) − (i · (ℑ ‘B)))
57	52, 54, 56	3eqtr4r 1509	. . 3 ⊢ (∗ ‘B) = ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B)))
58	50, 57	opreq12i 3979	. 2 ⊢ ((∗ ‘A) · (∗ ‘B)) = (((ℜ ‘A) + (i · -(ℑ ‘A))) · ((ℜ ‘B) + (i · -(ℑ ‘B))))
59	40, 43, 58	3eqtr4 1508	1 ⊢ (∗ ‘(A · B)) = ((∗ ‘A) · (∗ ‘B))

Syntax hints:   = wceq 958   ∈ wcel 960   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℂcc 5244  ici 5248   + caddc 5249   · cmul 5251   − cmin 5304  -cneg 5305  ℜcre 6748  ℑcim 6749  ∗ccj 6750

This theorem is referenced by:  cjmulrcl 6791  cjmult 6813  absmul 6847  abslem2i 6908  ipasslem10 8495  normlem1 8971  normlem2 8972  pjthlem5 9218  lnopunilem1 9930

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754

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