Theorem clsidm 7640

Description: The closure operation is idempotent.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ X = ∪J

Assertion

Ref	Expression
clsidm	⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ((cls ‘J) ‘((cls ‘J) ‘S)) = ((cls ‘J) ‘S))

Proof of Theorem clsidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ X = ∪J
2	1	clscld 7625	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ((cls ‘J) ‘S) ∈ (Clsd ‘J))
3	1	clsss3 7633	. . 3 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ((cls ‘J) ‘S) ⊆ X)
4	1	iscld3 7637	. . 3 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ ((cls ‘J) ‘S) ⊆ X) → (((cls ‘J) ‘S) ∈ (Clsd ‘J) ↔ ((cls ‘J) ‘((cls ‘J) ‘S)) = ((cls ‘J) ‘S)))
5	3, 4	syldan 467	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → (((cls ‘J) ‘S) ∈ (Clsd ‘J) ↔ ((cls ‘J) ‘((cls ‘J) ‘S)) = ((cls ‘J) ‘S)))
6	2, 5	mpbid 195	1 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ((cls ‘J) ‘((cls ‘J) ‘S)) = ((cls ‘J) ‘S))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955   ⊆ wss 2037  ∪cuni 2493   ‘cfv 3172  Topctop 7530  Clsdccld 7602  clsccl 7604

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-top 7534  df-cld 7605  df-cls 7607

Copyright terms: Public domain