Theorem cos1bnd 7475

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	⊢ ((1 / 3) < (cos ‘1) ⋀ (cos ‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 6638	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
2	1	opreq1i 3977	. . . . . . 7 ⊢ ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
3	2	opreq2i 3978	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4		2cn 5982	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		3nn 6002	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
6	5	nncn 5934	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
7	5	nnne0 5953	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
8	4, 6, 7	divrec 5744	. . . . . 6 ⊢ (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
9	3, 8	eqtr4 1501	. . . . 5 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
10	9	opreq2i 3978	. . . 4 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
11		ax1cn 5281	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12	4, 6, 7	divcl 5722	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
13	6, 7	reccl 5725	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
14		df-3 5973	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
15	14	opreq1i 3977	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
16	6, 7	divid 5771	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
17	4, 11, 6, 7	divdir 5754	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
18	15, 16, 17	3eqtr3r 1507	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
19	11, 12, 13, 18	subaddri 5384	. . . 4 ⊢ (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
20	10, 19	eqtr 1498	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
21		1re 5447	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		lt01 5692	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
23	21	leid 5622	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
24		0re 5452	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		elioc2t 6391	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ⋀ 0 < 1 ⋀ 1 ≤ 1)))
26	24, 21, 25	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ⋀ 0 < 1 ⋀ 1 ≤ 1))
27		cos01bnd 7474	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos ‘1) ⋀ (cos ‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
28	26, 27	sylbir 201	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ⋀ 0 < 1 ⋀ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos ‘1) ⋀ (cos ‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
29	21, 22, 23, 28	mp3an 918	. . . 4 ⊢ ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos ‘1) ⋀ (cos ‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
30	29	pm3.26i 320	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos ‘1)
31	20, 30	eqbrtrr 2641	. 2 ⊢ (1 / 3) < (cos ‘1)
32	29	pm3.27i 324	. . 3 ⊢ (cos ‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
33	2	opreq2i 3978	. . . 4 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
34	11, 13, 12	subadd2 5385	. . . . 5 ⊢ ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
35	18, 34	mpbir 190	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
36	33, 35	eqtr 1498	. . 3 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
37	32, 36	breqtr 2643	. 2 ⊢ (cos ‘1) < (2 / 3)
38	31, 37	pm3.2i 285	1 ⊢ ((1 / 3) < (cos ‘1) ⋀ (cos ‘1) < (2 / 3))

Syntax hints:   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 777   = wceq 958   ∈ wcel 960   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℝcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   · cmul 5251   − cmin 5304   / cdiv 5306   ≤ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  3c3 5964  (,]cioc 6359  ↑cexp 6569  cosccos 7296

This theorem is referenced by:  cos2bnd 7476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-5 5975  df-6 5976  df-7 5977  df-8 5978  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioc 6363  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-cos 7301

Copyright terms: Public domain