Theorem divexpt 6530

Description: Nonnegative integer exponentiation of a quotient.

Assertion

Ref	Expression
divexpt	⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) ⋀ B ≠ 0) → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N)))

Proof of Theorem divexpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrect 5702	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (A / B) = (A · (1 / B)))
2	1	3expb 832	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → (A / B) = (A · (1 / B)))
3	2	opreq1d 3960	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) → ((A / B)↑N) = ((A · (1 / B))↑N))
4	3	adantr 389	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A / B)↑N) = ((A · (1 / B))↑N))
5		mulexpt 6525	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ (1 / B) ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A · (1 / B))↑N) = ((A↑N) · ((1 / B)↑N)))
6	5	3expa 831	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (1 / B) ∈ ℂ) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A · (1 / B))↑N) = ((A↑N) · ((1 / B)↑N)))
7		recclt 5684	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) → (1 / B) ∈ ℂ)
8	6, 7	sylanl2 461	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A · (1 / B))↑N) = ((A↑N) · ((1 / B)↑N)))
9		recexpt 6526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0 ⋀ B ≠ 0) → ((1 / B)↑N) = (1 / (B↑N)))
10	9	3expa 831	. . . . . . . . 9 ⊢ (((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) ⋀ B ≠ 0) → ((1 / B)↑N) = (1 / (B↑N)))
11	10	an1rs 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((1 / B)↑N) = (1 / (B↑N)))
12	11	adantll 392	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((1 / B)↑N) = (1 / (B↑N)))
13	12	opreq2d 3961	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A↑N) · ((1 / B)↑N)) = ((A↑N) · (1 / (B↑N))))
14		divrect 5702	. . . . . . 7 ⊢ (((A↑N) ∈ ℂ ⋀ (B↑N) ∈ ℂ ⋀ (B↑N) ≠ 0) → ((A↑N) / (B↑N)) = ((A↑N) · (1 / (B↑N))))
15		expclt 6513	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) → (A↑N) ∈ ℂ)
16	15	adantlr 393	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → (A↑N) ∈ ℂ)
17		expclt 6513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ∈ ℂ)
18	17	adantll 392	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ∈ ℂ)
19	18	adantlrr 399	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ∈ ℂ)
20		expne0it 6519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0 ⋀ B ≠ 0) → (B↑N) ≠ 0)
21	20	3expa 831	. . . . . . . . 9 ⊢ (((B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) ⋀ B ≠ 0) → (B↑N) ≠ 0)
22	21	an1rs 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0) ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ≠ 0)
23	22	adantll 392	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → (B↑N) ≠ 0)
24	14, 16, 19, 23	syl3anc 856	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A↑N) / (B↑N)) = ((A↑N) · (1 / (B↑N))))
25	13, 24	eqtr4d 1502	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A↑N) · ((1 / B)↑N)) = ((A↑N) / (B↑N)))
26	4, 8, 25	3eqtrd 1503	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ (B ∈ ℂ ⋀ B ≠ 0)) ⋀ N ∈ ℕ0) → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N)))
27	26	exp42 383	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (B ∈ ℂ → (B ≠ 0 → (N ∈ ℕ0 → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N))))))
28	27	com34 36	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (B ∈ ℂ → (N ∈ ℕ0 → (B ≠ 0 → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N))))))
29	28	3imp1 844	1 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ ⋀ N ∈ ℕ0) ⋀ B ≠ 0) → ((A / B)↑N) = ((A↑N) / (B↑N)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 773   = wceq 953   ∈ wcel 955   ≠ wne 1577  (class class class)co 3948  ℂcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   · cmul 5211   / cdiv 5266  ℕ₀cn0 5269  ↑cexp 6500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain