Theorem domentr 4427

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity.

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((A ≼ B ⋀ B ≈ C) → A ≼ C)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 4421	. 2 ⊢ ((A ≼ B ⋀ B ≼ C) → A ≼ C)
2		endom 4391	. 2 ⊢ (B ≈ C → B ≼ C)
3	1, 2	sylan2 453	1 ⊢ ((A ≼ B ⋀ B ≈ C) → A ≼ C)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   class class class wbr 2624   ≈ cen 4370   ≼ cdom 4371

This theorem is referenced by:  xpdom1 4449  domen2 4486  php 4519  fodomfi 4575  fodomfiOLD 4576  carddomi 4845  unxpdom2 4856  sucxpdom 4857  cdadom2 4946  qnnen 7504  infxpidmlem1 7553  infxpidmlem11 7563  infxpidmlem12 7564  infunabs 7566  infcdaabs 7567  infdif 7569  infxpabs 7571  infmap1 7574  aleph1irr 7580  infmap2 7583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-en 4374  df-dom 4375

Copyright terms: Public domain